Differentialgleichung Wassertank

03.11.2019, 12:39

georg2000

Differentialgleichung Wassertank

Hallo die Aufgabe im Bild ,
Die Anfangsbedingung könnte : $\begin{eqnarray*} w(0)=378 \end{eqnarray*}$ lauten .
Der Zufluss ist dann $\begin{eqnarray*} 7,56/2 l/min \end{eqnarray*}$ Wasser bzw $\begin{eqnarray*} 7,56/2 l/min \end{eqnarray*}$ Schadstoffe
während das Gemisch nur zu $\begin{eqnarray*} 3,78 l/min \end{eqnarray*}$ raus kommt .

ich komme aber nicht so ganz zu einer DGl , kann mir jemand Helfen? Danke!

03.11.2019, 14:13

Huggy

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RE: Differentialgleichung Wassertank
Es sei

$\begin{eqnarray*} w(t) \end{eqnarray*}$ Wassermenge im Tank

$\begin{eqnarray*} s(t) \end{eqnarray*}$ Schadstoffmenge im Tank

$\begin{eqnarray*} f(t)=w(t)+s(t) \end{eqnarray*}$ Flüssigigkeitsmenge im Tank

$\begin{eqnarray*} w_0=f_0=378 \end{eqnarray*}$ Anfangsmenge von Wasser und Flüssigkeit im Tank (Die müssten aber nicht unbeding gleich sein)

$\begin{eqnarray*} z=7.56 \end{eqnarray*}$ Zuflussrate der Flüssigkeit

$\begin{eqnarray*} a=3.78 \end{eqnarray*}$ Abflussrate der Flüssigkeit

Dann ist $\begin{eqnarray*} f(t)=f_0+(z-a)t \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \dot w=0.5z-\frac w f a \end{eqnarray*}$

Die Einheiten habe ich weggelassen.

03.11.2019, 14:40

georg2000

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RE: Differentialgleichung Wassertank
Hallo Huggy , danke für deine Antwort !
ich mache dann mal weiter ;
$\begin{eqnarray*} w'=3,78-w*3,78/(w+s) \end{eqnarray*}$ ich habe auch einheiten weggelassen bzw mit w und s sind dann $\begin{eqnarray*} w(t) , s(t) \end{eqnarray*}$ gemeint.

wenn ich $\begin{eqnarray*} 3,78/(w(t)+s(t))=g(t) \end{eqnarray*}$ bezeichne ,
dann komme ich auf die Form :
$\begin{eqnarray*} w'+w*g(t)=3,78 \end{eqnarray*}$ das entspricht dann der Form von : $\begin{eqnarray*} y'+a(x)*y=b(x) \end{eqnarray*}$ welches ich mit der Methode der Variation der Konstanten lösen kann oder?

oder muss ich versuchen das s(t) zu seperieren welches dann dem "b(x)" entspricht?

03.11.2019, 14:54

Huggy

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RE: Differentialgleichung Wassertank

Zitat:

Original von georg2000
wenn ich $\begin{eqnarray*} 3,78/(w(t)+s(t))=g(t) \end{eqnarray*}$ bezeichne ,
dann komme ich auf die Form :
$\begin{eqnarray*} w'+w*g(t)=3,78 \end{eqnarray*}$ das entspricht dann der Form von : $\begin{eqnarray*} y'+a(x)*y=b(x) \end{eqnarray*}$ welches ich mit der Methode der Variation der Konstanten lösen kann oder?

Richtig.

03.11.2019, 15:11

georg2000

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RE: Differentialgleichung Wassertank
okay .
$\begin{eqnarray*} w'+w*g=3,78 \end{eqnarray*}$ dann entspricht $\begin{eqnarray*} 3,78=b(x) \end{eqnarray*}$
und es ist $\begin{eqnarray*} w'+w*g=0 \end{eqnarray*}$
also dann ist $\begin{eqnarray*} w'dw/dt=-w*g=-w*3,78/(w+s) \end{eqnarray*}$
umformen bringt mir ;
$\begin{eqnarray*} dw*(w+s)/w=dw*(1+s/w)=-3,78 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int (1+s/w)dw =\int -3,78 dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int 1 dw+\int s/w dw=-\int 3,78 dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w+s*ln(w) +C=-3,78t \end{eqnarray*}$ wenn ich $\begin{eqnarray*} C=ln (c) \end{eqnarray*}$ mit c >0 bezeichne
bekomme ich $\begin{eqnarray*} w+s *ln(cw)=-3,78t \end{eqnarray*}$
stimmt das so weit?

03.11.2019, 16:53

Huggy

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RE: Differentialgleichung Wassertank
Weshalb verwendest du für $\begin{eqnarray*} g(t) \end{eqnarray*}$ nicht

Zitat:

Original von Huggy
Dann ist $\begin{eqnarray*} f(t)=f_0+(a-z)t \end{eqnarray*}$

Dadurch taucht in $\begin{eqnarray*} g(t) \end{eqnarray*}$ weder $\begin{eqnarray*} w(t) \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} s(t) \end{eqnarray*}$ auf und in der DGL selbst taucht $\begin{eqnarray*} s(t) \end{eqnarray*}$ nicht mehr auf.

03.11.2019, 17:13

georg2000

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RE: Differentialgleichung Wassertank
Danke , da hast du vollkommen recht !
dann ist $\begin{eqnarray*} 3,78=w'+g(t)*w=w'+w*3,78/(w+s)=w'+3,78*w/(f_0+(a-z)t)=w'+3,78*w/(378-3,78t) \end{eqnarray*}$

die homogene Lösung dann :
$\begin{eqnarray*} 0=w'+3,78w/(378-3,78t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int 1/(3,78w) dw=-\int 1/(378-3,78t) \end{eqnarray*}$
wenn man $\begin{eqnarray*} u=378-3,78t \end{eqnarray*}$ setzt kommt man auf
$\begin{eqnarray*} 1/3,78*\int 1/w dw=1/3,78\int 1/u du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(|w|)+ln(|c|)=ln(|u|) \end{eqnarray*}$ mit einem c ungleich 0
$\begin{eqnarray*} ln(|cw|=ln(|378-3,78t|) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cw=378-3,78t \end{eqnarray*}$
wenn ich 1/c = C setze bekomme ich
$\begin{eqnarray*} w=C*(378-3,78t) \end{eqnarray*}$

stimmt das so weit?

03.11.2019, 18:58

georg2000

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ich habe noch vergessen zu fragen ist bei $\begin{eqnarray*} f(t)=f_0+(a-z)t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( a-z) \end{eqnarray*}$ nicht eventuell $\begin{eqnarray*} (z-a) \end{eqnarray*}$ gemeint ?
da so mehr abfließen würde als zu? bzw für den Wasserstand würde das bedeuten das er abnimmt , aber er nimmt doch zu oder?

04.11.2019, 09:02

Huggy

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Zitat:

Original von georg2000
ich habe noch vergessen zu fragen ist bei $\begin{eqnarray*} f(t)=f_0+(a-z)t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( a-z) \end{eqnarray*}$ nicht eventuell $\begin{eqnarray*} (z-a) \end{eqnarray*}$ gemeint ?

Richtig! Das war ein Schreibfehler von mir. Ich korrigiere ihn oben. Für die homogene Lösung bekomme ich

$\begin{eqnarray*} w_h(t) =\frac c {100+t} \end{eqnarray*}$

04.11.2019, 15:35

georg2000

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wenn ich meinen obigen Beitrag mit dem angepassten f rechne komme ich auf das selbe !
Von hier aus komme ich alleine klar , danke dir auf jeden Fall !!

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