Intervallschachtelungen

03.11.2019, 14:44

Waldläufer

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Intervallschachtelungen

Meine Frage:
Grüßt euch,
Es geht um Intervalle bzw. Intervallschachtelungen.

Finden sie alle x?R für die gilt.

x?In:=(0,1/n^2] für alle n?N

x?In:=[0,1/n^2] für alle n?N

Meine Ideen:
Da Ich bei diesem Thema noch Hürden habe, kann ich auch nicht so viele Lösugsansätze geben da mir ebenso noch unklar ist was den überhaupt so richtig gesucht wird und wie man die Aufgabe löst.

Ich denke mir, wenn für n Werte eingesetzt werden. zB(1,2,3,4,5,6)

könnte damit einen neues Intervall beginnen, eines welches den Reellen Zahlenbereich zum Teil abdeckt also [1,1/4,1/9,1/16,1/25,1/36....]

Jedoch gibt es ja unendlich viele Möglichkeiten das Intervall weiter zu führen wie lassen sich den alle x-Werte finden?

Über Lösungsansätze freue ich mich sehr.
Ich sende euch freundliche Grüße
Jan

03.11.2019, 14:54

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RE: Analysis1 Intervallaufgaben
Du hast für jede natürlliche Zahl n das Intervall $\begin{eqnarray*} I_n=(0,\frac{1}{n^2}] \end{eqnarray*}$ gegeben.
Gesucht sind jetzt reelle Zahlen x, die in allen Intervallen liegen, also der Duchschnitt aller dieser Intervalle.
Schreib dir am besten für die ersten 5 natürlichen Zahlen die Intervalle auf.
Was du damit

Zitat:

ch denke mir, wenn für n Werte eingesetzt werden. zB(1,2,3,4,5,6) könnte damit einen neues Intervall beginnen, eines welches den Reellen Zahlenbereich zum Teil abdeckt also [1,1/4,1/9,1/16,1/25,1/36....]

meinst, verstehe ich nicht.

03.11.2019, 15:13

Waldläufer

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Hey
danke für die schnelle Antwort.

also heist das jetzt, wenn ich für n eine Natürliche Zahl einsetzte entsteht dabei für jedes n ein neues Intervall. Also
$\begin{eqnarray*} I_{1}=(0,1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_{2}=(0,\frac{1}{4}] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_{3}=(0,\frac{1}{9}] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_{4}=(0,\frac{1}{16}] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_{5}=(0,\frac{1}{25}] \end{eqnarray*}$

Wie wird der Durchscnitt dieser Reellen Zahlen berechnet über das arithmetische Mittel?

Dabei seit: 03.11.2019
Beiträge: 2

03.11.2019, 15:25

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Die Intervalle sind richtig. Zeichne sie auf einem Zahlenstrahl.
Mit dem arithmetischen Mittel hat es nichts zu tun.

03.11.2019, 15:40

Waldläufer

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OK so weit so gut, beim Zeichnen der Intervalle auf einem Zahlenstrahl fällt auf, dass
folgende Intervalle nach $\begin{eqnarray*} I_{1} = (0,1] \end{eqnarray*}$ in diesem liegen, jedoch sich immer weiter der 0 nähern.

Damit kann ich Sagen das die 1 als reelle Zahl in allen Intervallen liegt, das scheint mir jetzt jedoch etwas zu einfach zu sein, also gibt es da sicher noch etwas? =)

03.11.2019, 15:48

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Du hast doch $\begin{eqnarray*} I_2=(0,1/4] \end{eqnarray*}$ . Wie soll denn dann 1 im Durchschnitt aller Intervalle liegen, wo es doch nicht einmal in $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ liegt?
Die Intervalle liegen also alle in (0,1]. Was kannst du denn über die Lage von $\begin{eqnarray*} I_{n+1} \end{eqnarray*}$ im Vergleich zu $\begin{eqnarray*} i_n \end{eqnarray*}$ sagen. Schau auf deinen Zahlenstrahl und auf die Beispiele, die du explizit aufgeschrieben hast.

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03.11.2019, 16:08

Waldläufer

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Wenn ich das jetzt richtig verstehe sollte das Intervall $\begin{eqnarray*} I_{n} \end{eqnarray*}$ sein Nachfolgerintervall $\begin{eqnarray*} I_{n+1} \end{eqnarray*}$ umschließen.

$\begin{eqnarray*} i_{n} \end{eqnarray*}$ sollte dann in seinem Vorgängerintervall $\begin{eqnarray*} i_{n-1} \end{eqnarray*}$ liegen.

Werden dann alle einzelnen Intervallenden zusammen addiert?

03.11.2019, 16:15

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Hier wird überhaupt nichts addiert, es geht um den Durchschnitt von Mengen.
Du weißt also, dass $\begin{eqnarray*} I_{n+1}\subset I_n \end{eqnarray*}$ ist. Was folgt daraus für $\begin{eqnarray*} I_{n+1}\cap I_n \end{eqnarray*}$ ?
Edit: Folgere daraus, dass $\begin{eqnarray*} \cap_{i=1}^{n+1}=I_1\cap I_2 \cap\ldots \cap I_{n+1}=I_{n+1} \end{eqnarray*}$

Edit2: Wenn dir diese Manipulationen zu kompliziert sind, versuch es mal so: Du suchst alle reellen Zahlen x mit $\begin{eqnarray*} x\in I_n=(0,1/n^2] \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen Zahlen n. Das heißt, für jedes natürliche n muss $\begin{eqnarray*} 0<x\leq 1/n^2 \end{eqnarray*}$ gelten. x muss also positiv sein. Jetzt nimm dir eine beliebige positive Zahl und prüfe, ob $\begin{eqnarray*} x\leq 1/n^2 \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen n gelten kann.

03.11.2019, 16:45

Waldläufer

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aahh ok es wird heller =),
bedeuten diese Manipulationen $\begin{eqnarray*} I_{n+1}\cap I_{n} \end{eqnarray*}$ dass $\begin{eqnarray*} I_{n+1} \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} I_{n} \end{eqnarray*}$ ist ?.

und es können nicht alle Natürlichen Zahlen diese Gleichung erfüllen $\begin{eqnarray*} x\leq \frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray*}$ nur die quadrate einer natürlichen Zahl, wobei dennoch jede natürliche Zahl verwendet werden kann.

ist diese Ungleichung $\begin{eqnarray*} x\leq \frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray*}$ auch das Ergebnis der Aufgabe?

03.11.2019, 16:54

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Zitat:

Original von Waldläufer

bedeuten diese Manipulationen $\begin{eqnarray*} I_{n+1}\cap I_{n} \end{eqnarray*}$ dass $\begin{eqnarray*} I_{n+1} \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} I_{n} \end{eqnarray*}$ ist ?.

Nein, umgekehrt. $\begin{eqnarray*} I_{n+1}\cap I_{n} \end{eqnarray*}$ ist die Schnittmenge der beiden Menge. Wegen $\begin{eqnarray*} I_{n+1}\subset I_n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} I_{n+1}\cap I_{n}=I_{n+1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

und es können nicht alle Natürlichen Zahlen diese Gleichung erfüllen $\begin{eqnarray*} x\leq \frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray*}$ nur die quadrate einer natürlichen Zahl

Du verstehst nicht. Die Frage ist, ob für eine feste, positive Zahl x die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x\leq 1/n^2 \end{eqnarray*}$ für jedes natürliche Zahl n gilt. Ein konkretes Beispiel: Gilt für x=0.27, dass $\begin{eqnarray*} x\leq 1/n^2 \end{eqnarray*}$ für jedes natürlich n ist? Gilt natürlich nicht, weil z.B. schon für n=2 gilt $\begin{eqnarray*} x>1/2^2=0.25 \end{eqnarray*}$

Zitat:

ist diese Ungleichung $\begin{eqnarray*} x\leq \frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray*}$ auch das Ergebnis der Aufgabe?

Gesucht ist eine Menge. Eine Menge kann man evtl durch eine Ungleichung beschreiben. Diese Ungleichung ist es nicht.

03.11.2019, 17:20

Waldläufer

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wenn x keinen festen Wert annehmen kann sondern nur eine Menge.

Ist dann $\begin{eqnarray*} I_{i}\cap I_{i+1}= I_{i+1} \end{eqnarray*}$ die Lösung?

wenn nicht kannst du das Geheimnis bitte lüften ich komme da grad nicht drauf.

03.11.2019, 17:29

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Irgendwie verstehe ich nie, was du sagen willst.
Die Lösung ist jedenfalls die leere Menge.

03.11.2019, 17:39

Leopold

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@ URL/Waldläufer

Wenn ich mir hier so alles durchlese, könnten die Verständnisprobleme darin begründet sein, daß Waldläufer gar nicht klar ist, was ein Intervall ist, nämlich ein kontinuierlicher Zahlenbereich "von-bis". Ist natürlich nur eine Vermutung. Bin dann wieder weg. Wink

Wink

03.11.2019, 17:42

Waldläufer

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Ich danke dir für deine ausdauernde Hilfe =), mir ist es jetzt zwar immer noch nicht ganz klar wie das mit den Intervallen und finden von Mengen funktioniert doch sicherlich etwas mehr als zu Beginn der Fragestellung.

Mit der Schreibweise vom vorangegangenen Beitrag wollte ich Ausdrücken ob es eine Schnittmenge gibt, welche in allen Intervallen liegt doch die gibt es ja offensichtlich nicht, wenn die Lösung der Aufgabe die leere Menge ist

03.11.2019, 17:46

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Angenommen, es gäbe eine positive Zahl x, für die die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x\leq 1/n^2 \end{eqnarray*}$ für jedes natürliche Zahl n gilt. Wähle eine natürliche Zahl m so groß, dass $\begin{eqnarray*} m> \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ . Das geht, weil die Menge der natürlichen Zahlen nicht nach oben beschränkt ist. Dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} > \frac 1 m \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x> \frac 1 {m^2} \end{eqnarray*}$ . Widerspruch zur Annahme. Also gibt es keine solche Zahl x.
@Leopold: Da könntest du Recht haben. Es könnte aber auch am Verständnis vom Durchschnitt von Mengen liegen.

03.11.2019, 19:18

Waldläufer

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Diese Erklärung leuchtet mir ein =). Ich werde probieren diese Lösungsstrategien auf die anderen Aufgaben zu übertragen.

Und ja @URL das trifft ziemlich genau zu das mir die Einteilung von Mengen bzw. gemeinsamen Schnittmengen bezüglich der Mathematik noch etwas nebelig erscheinen.

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