Zerfallsgleichung aufstellen

03.11.2019, 17:40	Markono	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerfallsgleichung aufstellen Meine Frage: Ich habe folgende Aufgabe gegeben: Das nebenstehende Diagramm (im Anhang) zeigt die Förderung von Steinkohle im Jahr 1998 und die politischen Vereinbarungen bis 2012. Bestimmen Sie ein Modell unter der Annahme, dass die Förderung einer Funktion f mit f(t) mit f(t)=a+be^(-kt) genügt (1998:t=0). (Lösung: f(t)= 6,91 + 40,09e^(-0,106t) ) Nun habe ich mir die Lösungen zur der Aufgabe angeschaut, da ich nicht wusste wie ich verfahren soll und dort wird folgendes geschrieben: f(0) = a + b = 47 f(7) = a + be^(-7k) = 26 f(14) = a + be^(-14k) = 16 Mit e^(-14k) = (e^(-7k))^2 folgt a = 6,090 ; b = 40,09 ; k = 0,106 Die Formeln mit f(0), f(7) und f(14) sind klar, das Potenzgesetz auch, leider versteh ich nun nicht wie ich auf a,b und k gekommen bin. Meine Ideen: Ich hab schon versucht irgendwie nach a umzustellen und dann einzusetzen usw. aber da kam bei mir irgendwie nichts gescheites raus.
03.11.2019, 17:44	Markono	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerfallsgleichung aufstellen Tut mir leid, einmal sollte es heißen a = 6,909 nicht 6,090
03.11.2019, 18:20	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerfallsgleichung aufstellen Wegen des Parameters a kann man leider Gleichung II und III nicht sofort ins Verhältnis setzen. Daher bin ich folgenden Umweg gegangen: Mit Gleichung I drücke ich a durch b aus. Dann lauten Gleichung II und III neu: $\begin{eqnarray} 47-b+be^{-7k}=26 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 47-b+be^{-14k}=16 \end{eqnarray}$ Das kann man in ein paar Schritten umstellen zu $\begin{eqnarray} e^{-7k}=\frac{b-21}{b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{-14k}=\frac{b-31}{b} \end{eqnarray}$ Jetzt bilde ich aus beiden Seiten den Quotienten, dann bleibt nach dem Logarithmieren $\begin{eqnarray} k=ln \left[\left(\frac{b-21}{b-31} \right)^{\frac{1}{7} }\right] \end{eqnarray}$ Dies kann man nun einsetzen z. B. in obige neue Gleichung II und nach b auflösen, dann erhält man tatsächlich b = 40,09. a und k gehen dann schnell. Ist nicht ganz so bequem, aber auf die Schnelle fällt mir kein schönerer Weg ein ...
03.11.2019, 19:14	Markono	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerfallsgleichung aufstellen Leider kann ich Ihnen ab dem Schritt mit dem Quotienten nicht mehr folgen. Versteh grad leider nicht wieso wir den Quotient brauchen und wie dieser uns zum Ergebnis führt. Desweiteren komm ich leider auch nicht auf die k Formel.
03.11.2019, 19:38	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerfallsgleichung aufstellen Durch den Quotienten erhalte ich eine neue Gleichung, mit der ich k durch b ausdrücken kann, damit kann ich oben wieder eine Gleichung erzeugen, die nur noch b enthält. Wir haben eben 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten, aber nicht schön linear, deshalb wird's etwas ungemütlicher. Gebe zu, die Umformungen erfordern etwas Konzentration und man muß sattelfest in Potenz- und Logarithmengesetzen sein. Daher kann ich nur empfehlen, selbst nachzurechnen. Nach mutmaßlicher Musterlösung kann man sich wahrscheinlich auch über die Beziehung der beiden e-Funktionen eine quadratische Gleichung basteln und durch Substitution lösen. Den Weg habe ich aber nicht weiterverfolgt.
04.11.2019, 02:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung des Systems gestaltet sich angenehmer, wenn man es etwas anders angeht. Der Zeitpunkt 1998 ist der Beginn der Rechnung, daher setzen wir dort t = 0. Außerdem ersetzen wir $\begin{eqnarray} e^{-k} \end{eqnarray}$ vorübergehend durch $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ . Somit gibt es die 3 Punkte (0; 47), (7; 26) und (14; 16) auf der Kurve; die Koordinaten dieser Punkte in die Funktionsgleichung eingesetzt, liefert das System $\begin{eqnarray} (1): \ 47 = a + b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2): \ 26 = a + bq^7 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (3): \ 16 = a + bq^{14} \end{eqnarray}$ ------------------------------------- $\begin{eqnarray} \text{(1)-(2): }21 = b(1 - q^7) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{(2)-(3): }10 = bq^7(1-q^7) \end{eqnarray}$ ------------------------------------- Division der beiden Gleichungen! $\begin{eqnarray} \to \frac{10}{21} = q^7 \ \to \ q = 0.8994 \end{eqnarray}$ Aus $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ folgt dann $\begin{eqnarray} k = -\ln q = 0.106 \end{eqnarray}$ Die Ermittlung von a und b dürfte nun mit Kenntnis von q kein Problem mehr darstellen: $\begin{eqnarray} (1): \ 47 = a + b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2): \ 26 = a + 0.4762 \cdot b \end{eqnarray}$ ------------------------------------- $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ Es kommen dann die angegebenen Lösungen. mY+
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04.11.2019, 06:38	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
https://www.mathelounge.de/666095/zerfal...hung-aufstellen

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