Vollständige Induktion

03.11.2019, 18:17

FrancaisAmi

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo,

habe Probleme mit einem Beweis. Hier hat mir meine Lehrerin eine Aufgabe gestellt, in der ich folgende Gleichung mit der vollständigen Induktion beweisen soll. Ich komme beim Induktionsschritt nicht mehr weiter...

[latex]\sum\limits_{p=0}^{m} ((-1)^p*\binom{m}{p})=0[\latex]

Meine Ideen:
\sum\limits_{p=0}^{m+1} ((-1)^p*\binom{m+1}{p})\\
[latex]\Leftrightarrow \sum\limits_{p=0}^{m} ((-1)^p*\binom{m+1}{p}) + (-1)^{m+1}*\binom{m+1}{m+1}\\
\Leftrightarrow \sum\limits_{p=0}^{m} ((-1)^p*(\binom{m}{p} + \binom{m}{p-1})) + (-1)^{m+1}*\binom{m+1}{m+1}\\
\Leftrightarrow \sum\limits_{p=0}^{m} ((-1)^p*\binom{m}{p}) + \sum\limits_{p=0}^{m} ((-1)^p*\binom{m}{p-1}) + (-1)^{m+1}*\binom{m+1}{m+1}\\
\Leftrightarrow 0+ \sum\limits_{p=0}^{m} ((-1)^p*\binom{m}{p-1}) + (-1)^{m+1}*\binom{m+1}{m+1}\\[\latex]

03.11.2019, 18:25

FrancaisAmii

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RE: Vollständige Induktion bereitet Kopfschmerzen
Hallo,

habe Probleme mit einem Beweis. Hier hat mir meine Lehrerin eine Aufgabe gestellt, in der ich folgende Gleichung mit der vollständigen Induktion beweisen soll. Ich komme beim Induktionsschritt nicht mehr weiter...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{p=0}^{m} ((-1)^p*\binom{m}{p})=0\\ \sum\limits_{p=0}^{m+1} ((-1)^p*\binom{m+1}{p})\\ \Leftrightarrow \sum\limits_{p=0}^{m} ((-1)^p*\binom{m+1}{p}) + (-1)^{m+1}*\binom{m+1}{m+1}\\ \Leftrightarrow \sum\limits_{p=0}^{m} ((-1)^p*(\binom{m}{p} + \binom{m}{p-1})) + (-1)^{m+1}*\binom{m+1}{m+1}\\ \Leftrightarrow \sum\limits_{p=0}^{m} ((-1)^p*\binom{m}{p}) + \sum\limits_{p=0}^{m} ((-1)^p*\binom{m}{p-1}) + (-1)^{m+1}*\binom{m+1}{m+1}\\ \Leftrightarrow 0+ \sum\limits_{p=0}^{m} ((-1)^p*\binom{m}{p-1}) + (-1)^{m+1}*\binom{m+1}{m+1}\\ \end{eqnarray*}$

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Viele Grüße
Steffen

03.11.2019, 18:36

HAL 9000

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Ist viel richtiges dabei, aber ein paar Anmerkungen:

1) Zur Form: Wenn man Terme wertgleich umformt, dann schreibt man $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ dazwischen statt $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ .

2) $\begin{eqnarray*} \binom{m+1}{p} = \binom{m}{p} + \binom{m}{p-1} \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} p=0 \end{eqnarray*}$ problematisch, sollte also nur für $\begin{eqnarray*} 1\leq p\leq m \end{eqnarray*}$ verwendet werden!

3) Bei der zweiten Summe eine Indexverschiebung nach unten durchführen!

03.11.2019, 18:43

Mathema

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Wobei Induktion hier ja nun wirklich eine Arbeitsbeschaffungsmaßnahme ist. Die Aussage folgt ja direkt aus dem Binomischen Lehrsatz.

03.11.2019, 18:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathema
Wobei Induktion hier ja nun wirklich eine Arbeitsbeschaffungsmaßnahme ist. Die Aussage folgt ja direkt aus dem Binomischen Lehrsatz.

Das oben folgt ja auch dem Induktionsbeweis von $\begin{eqnarray*} (a+b)^m = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} a^p b^{m-p} \end{eqnarray*}$ , nur eben für den Spezialfall $\begin{eqnarray*} a=-1,b=1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

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