Lineare (Un-)abhängigkeit

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Lena0303 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare (Un-)abhängigkeit
Meine Frage:
Also es heißt:

"Sei K ein Körper mit und seien . Zeigen Sie, dass (v,w) genau dann linear unabhängig ist, wenn es gibt mit "

Meine Ideen:
Ist das nicht eigentlich falsch?

Denn sei und

Dann ist , d.h. es gibt i und y mit xiyj = xjyi. Somit müssten v und w laut der Äquivalenz, die man beweisen soll, v und w linear abhängig sein. Aber v und w sind linear unabhängig ...


Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen? Danke
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RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Die Aussage lautet doch, wenn es diese beiden Indizes i und j gibt, dann sind die Vektoren linear unabhängig. verwirrt
Falsch ist die Aussage trotzdem
Lena0303 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Danke für deine schnelle Antwort! Und sorry!!!! Es muss so sein:


Zitat:
Original von Lena0303
Meine Frage:
Also es heißt:

"Sei K ein Körper mit und seien . Zeigen Sie, dass (v,w) genau dann linear unabhängig ist, wenn es gibt mit "

Meine Ideen:
Ist das nicht eigentlich falsch?

Denn sei und

Dann ist , d.h. es gibt i und y mit xiyj = xjyi. Somit müssten v und w laut der Äquivalenz, die man beweisen soll, v und w linear abhängig sein. Aber v und w sind linear unabhängig ...


Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen? Danke!!
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RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Ich würde die Umkehrung zeigen: v,w sind genau dann linear abhängig, wenn immer gilt.
Lena0303 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Aber das gilt doch eigentlich gar nicht. Denn sei z.B.



Und xi = 2, xj = 4, yi = 5, yj = 10, dann ist xiyj = xjyi, obwohl v und w linear unabhängig sind
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RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Worauf willst du jetzt hinaus? In der Formulierung der Aufgabe steht .
In meiner Formulierung steht wenn immer gilt.
 
 
Lena0303 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Ach so, also nach deiner Formulierung ist mein "Gegenbeispiel" gar keines, da nicht für beliebige i und j die Bedingung erfüllt ist?
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RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
So ist es
Lena0303 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Okay, danke! Ich nehme mal an, man sollte zuerst zeigen, dass

Wenn xiyj = xjyi v und w sind Vielfache voneinander


Was meint ihr?
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RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Es ist egal, womit du anfängst. Aber fang endlich mal an.
Lena0303 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Okay, also letztendlich reduziert sich das Problem darauf, zu zeigen, dass



v und w sind Vielfache voneinander <--------> Es gibt natürliche i, j mit xiyj = xjyi


wie URL ja auch angedeutet hat. Aber wie beweist man das ... ? Weder die Hin- noch die Rückrichtung erschließt sich mir verwirrt Wäre für einen Tipp echt dankbar
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RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Das habe ich nicht angedeutet. Stattdessen habe ich dir zweimal gesagt "wenn immer gilt". Mit anderen Worten: Für alle Indizes i, j gilt

Was bedeutet es denn, wenn v und w Vielfache voneinander sind? Wie schreibt man das mit Hilfe der Komponenten der beiden Vektoren?
Lena0303 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Okay, sorry, mein Fehler. Also wenn v und w Vielfache voneinander sind, dann gibt es ein , so dass




Nur weiß ich leider nicht weiter. Was würdest du jetzt tun?
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RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Ich würde mich daran erinnnern, dass ich zeigen will, also mal berechnen.
Lena0303 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Ah! Danke smile

Da v und w linear abhängig sind, ist und


Somit lässt sich xiyj = xjyi auch schreiben als , was eine wahre Aussage ist.


So in etwa, nicht?
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RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Ich hätte direkt geschrieben, aber so geht es auch.
Lena0303 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Ja, so ist es schöner, danke! Und wie würdest du die Rückrichtung machen?
Lena0303 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Ich glaube, das hat was mit gemeinsamen Teiler zu tun
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RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Wie meinst du das? verwirrt
Lena0303 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Ach, vergiss das. Ich weiß nicht, wie man aus, folgert, dass v und w linear abhängig sind ... Kannst du mir bitte einen Tipp geben?
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RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Man kann annehmen (warum?) Dann gibt es einen Index mit . Was folgt dann aus ?
Lena0303 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Wir können annehmen, da wir ja letztlich auf lineare Unabhängigkeit hinauswollen, und dafür müssen v und w ungleich dem Nullvektor sein. Wir erhalten





Und daraus lässt sich jetzt folgern, dass v und w linear abhängig sind, richtig?
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RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Wie folgerst du das? Ganz konkret bitte, keine Nebelkerzen mehr.
Lena0303 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Also dann so:


Es folgt, dass


Und da nun fest ist, folgt daraus, dass v und w Vielfache voneinander sind
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RE: Lineare (Un-)abhängigkeit
Na also, geht doch smile
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