Aufgabe mit irrationaler Variablen

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Saskiastill Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe mit irrationaler Variablen
Meine Frage:
Hi,
die Aufgabe lautet: Sei i Element von R (reelle Zahlen) irrational. Unter welchen Bedingungen an a,b,c,d Element von Z (ganze Zahlen) ist

Lambda := (ai+b)/(ci+d) rational ?

Meine Ideen:

Zunächst habe ich i als i = sqrt(-1) definiert. Das habe ich dann eingesetzt und alles quadriert, sodass Lambda^2 = (-a^2 + b)/(-c^2 + d). Wenn ich dann die Wurzel ziehe, so bekomme ich: Lambda = (-a + sqrt(b))/(-c + sqrt(d)). Also sind die Bedingungen an a,b,c,d nun: b und d müssen natürliche Zahlen sein und (-a + sqrt(b) muss ungleich 0 sein.
Ist das so richtig ?

(sorry für die Schreibweise, hatte Probleme die Schreibweise mit latex zu benutzen.)
Vielen Dank
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe mit irrationaler Variablen
Zitat:
Original von Saskiastill
Sei i Element von R (reelle Zahlen) irrational.


Zunächst habe ich i als i = sqrt(-1) definiert.


Was gilt nun? verwirrt

Es ist ja schon einigermaßen ungewöhnlich, im Kontext der reellen Zahlen i als Bezeichner für eine reelle Zahl zu nehmen. Aber wenn es nun mal so ist, kann man es hinterher nicht als imaginäre Einheit festlegen. Irgendwie komisch das Ganze ...
 
 
Saskiastill Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe mit irrationaler Variablen
Oh, das ist mein Fehler denn in der Aufgabe stand statt i irgendein griechischer Buchstabe. Also sagen wir mal, dass die irrationale Zahl p ist.....
Ich dachte, dass jede irrationale Zahl = sqrt(-1) ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe mit irrationaler Variablen
Zitat:
Original von Saskiastill
Ich dachte, dass jede irrationale Zahl = sqrt(-1) ist.


Beim besten Willen fehlt mir das Verständnis für diese Aussage. Das ist ähnlich, als würde jemand sagen: Ich dachte, daß jede ganze Zahl gleich 1 ist. Denk einmal über diese Aussage nach.



Ich nehme hier einmal für die irrationale Zahl (zum Beispiel oder oder ), sind ganze Zahlen. Man darf annehmen, daß nicht beide zugleich 0 sind (warum?).

Wichtig ist Folgendes: Addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert man eine irrationale und eine rationale Zahl, ist das Ergebnis irrational (folgt durch Widerspruch aus der Körpereigenschaft von ). Ausnahmen: Multiplikation mit 0 oder die sowieso verbotene Division durch 0.

Nimm an, daß ist, multipliziere den Nenner weg und trenne in Bestandteile mit und solche ohne . Was kannst du schließen?
Saskiastill Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort. Ich hatte das komplett falsch verstanden...

Als Lösung habe ich jetzt, dass c und d nicht zugleich 0 sein dürfen, weil man sonst mit 0 dividieren würde und das ist nicht definiert. Außerdem müssen a und c zugleich 0 sein, denn sonst würde man Lambda mit einer irrationalen Zahl multiplizieren und somit wäre das Ergebnis dann auch irrational (Fall c ungleich 0). Oder man würde eine irrationale Zahl mit Lambda dividieren und das Ergebnis wäre dann wieder irrational (Fall: a ungleich 0).
Daraus folgt also, dass d ungleich 0 sein muss und a und c = 0 sein müssen. b hat keine Bedingung.

Ist das so richtig ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Saskiastill Auf diesen Beitrag antworten »

Okay also muss (a/c) = (b/d) gelten. Beide Brüche müssen ein Element von Q sein.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Antwort stimmt fast. Allerdings ist "Beide Brüche müssen ein Element von Q sein" wieder ein Schnellschuß, hier eine nichtssagende Äußerung. Nein, beide Brüche müssen gleich sein. Das ist die richtige Antwort. Es ist allerdings noch ein Haken an der Sache. Was ist, wenn oder ist? Man kann dieses Problem umgehen, wenn man die Antwort bruchfrei schreibt.
Ein Beweis der Aussage fehlt aber noch gänzlich. Wie man es machen kann, habe ich in meinem vorigen Beitrag schon geschrieben. Versuche, auf dem Lösungsweg Divisionen zu vermeiden. Dann ersparst du dir Fallunterscheidungen. Und denke an die beiden Beweisrichtungen.
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