Injektiv, surjektiv, bijektiv auf RxRxR

04.11.2019, 13:52

J_e_n_s

Injektiv, surjektiv, bijektiv auf RxRxR

Meine Frage:
Ich muss für meine morgige Übungseinheit noch eine weitere Aufgabe lösen, bei der ich allerdings keinen Ansatz finde. ich weiß wie man generell injektiv, surjektiv und bijektiv errechnet, doch diese Funktion ist so abstrakt, dass ich eben keinen Anfang finde, sie zu lösen. :
Die Abbildung f : R×R×R??R×R×R sei de?niert durch f(a,b,c) := (2b,3c,4a).
Zeigen Sie, dass f injektiv, surjektiv, bijektiv ist, und bestimmen Sie die Umkehrfunktion.

Meine Ideen:
ich habe in manchen Foren solch ein Ansatz entdeckt (für injektiv auf diese Aufgabe angewandt):
2b1 + 3c1 = 2b2 + 3c2
weiter vervollständigt habe ich dies:
3c1 + 4a1 = 3c2 + 4a2
2b2 + 3c2 = 3c2 + 4a2
2b2 = 4a2
b2 = 2a2

Zum einen weiß ich allerdings nicht, ob meine Vervollständigung nicht vollständig falsch ist, und ob das Ergebnis (insofern meine Vervollständigung richtig ist), nun für injektiv falsch heraus kommt

Daraus resultieren könnte ich auch für die Surjektivität hilfe benötigen, da ich bislang noch nie mit RxRxR aufgaben zu tun hatte, in der Art und Weiße, wie sie nun von mir gefordert werden.

04.11.2019, 13:57

HAL 9000

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An sich reicht die Angabe einer Funktion, von der man zeigt, dass sie alle Eigenschaften einer Umkehrfunktion besitzt! Damit fällt die Bijektivität, und folglich auch die Injektivität und Surjektivität als Nebenprodukt mit ab, und man muss sich nicht so einen abbrechen, wie du es da eben vorhast zu tun.

04.11.2019, 14:01

J_e_n_s

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Danke für die (schnelle) Antwort ^^
Das heißt, ich erstelle eine Funktion mit 3 variablen für die gild: 2*variable b, 3* variable c, 4* variable a sind bijektiv und leite daraus die Umkehrfunktion ab ?

04.11.2019, 14:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von J_e_n_s
ich erstelle eine Funktion mit 3 variablen für die gild: 2*variable b, 3* variable c, 4* variable a sind bijektiv

Verstehe nicht, was du mit diesem "komponentenweise bijektiv" meinst. unglücklich

Du gibst einfach eine Funktion $\begin{eqnarray*} g:\;\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ an mit $\begin{eqnarray*} f(g(a,b,c)) = (a,b,c) \end{eqnarray*}$ . Das kann so schwer nicht sein. Wenn du es aber absolut nicht hinkriegst, dafür aber Ahnung von linearer Algebra hast, dann kannst du auch nutzen, dass dein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung ist, d.h., es gilt ja

$\begin{eqnarray*} f(a,b,c) = M\cdot \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\\ 4 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dann wählst du einfach $\begin{eqnarray*} g(a,b,c) = M^{-1}\cdot \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

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