Gruppenelementordnung

Neue Frage »

04.11.2019, 14:44	RollenderRubel	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenelementordnung Meine Frage: Moin! Ich komme hier nicht weiter: Ich habe eine abelsche Gruppe $\begin{eqnarray} (G,) \end{eqnarray}$ und zwei Gruppenelemente $\begin{eqnarray} g,h\in G \end{eqnarray}$ endlicher Ordnung. Zu zeigen: $\begin{eqnarray} \operatorname {ord}(gh) \end{eqnarray}$ teilt das kgV von $\begin{eqnarray} \operatorname {ord}(g) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \operatorname {ord}(h) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich nenne die Ordnungen mal $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Die Abelschheit von $\begin{eqnarray} (G,) \end{eqnarray*}$ dürfte die entscheidende Eigenschaft hier sein. Ich weiß aber nicht, wie ich sie sinnvoll einbringen kann.
04.11.2019, 15:14	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenelementordnung Du bist schon auf der richtigen Spur $\begin{eqnarray} (gh)^{kgV}=g^{kgV} h^{kgV} \end{eqnarray}$ und die rechte Seite kennt man.
04.11.2019, 15:27	RollenderRubel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenelementordnung OK! Das war glaube ich ein richtig guter Tipp von dir... Melde mich gleich nochmal!
04.11.2019, 16:31	RollenderRubel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenelementordnung OK daswar dann ja echt nicht mehr schwierig. Vielen Dank!
04.11.2019, 17:14	RollenderRubel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenelementordnung Oh Moment! Da ist mir doch nochwas unklar: Warum gilt $\begin{eqnarray} (gh)^{kgV}=g^{kgV} h^{kgV} \end{eqnarray}$ ? Wären $\begin{eqnarray} g,h \end{eqnarray}$ Zahlen und die $\begin{eqnarray} + \end{eqnarray}$ die Verknüpfung, dann gilt beispielsweise nicht $\begin{eqnarray} (3+8)^4=3^4+8^4 \end{eqnarray}$ .
04.11.2019, 17:30	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenelementordnung Ich habe die Verknüpfung $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ als Multiplikation geschrieben, also ausführlich $\begin{eqnarray} (gh)^{kgV}=g^{kgV}h^{kgV} \end{eqnarray}$ . Wenn du sie als Addition schreiben willst, dann wäre es eben $\begin{eqnarray} kgV(gh)=kgVg kgV h \end{eqnarray*}$ - und spätestens jetzt fällt mir meine hemdärmlige Schreibweise mit dem kgV auf die Füße, weil man vor lauter Buchstaben den Sinn suchen muss Aber du schaffst das bestimmt Sonst melde dich nochmal
Anzeige

04.11.2019, 17:48	RollenderRubel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenelementordnung Ich musste das jetzt dreimal lesen. Aber jetzt hab ich's gerafft, danke! Ich dachte, der zweite Teil der Aufgabe ist dann nur noch ein Katzensprung. Deshalb habe ich ihn hier nicht mit aufgeschrieben. Aber ich bräuchte auch bei diesem einen kleinen Klaps auf den Hinterkopf: Sollten $\begin{eqnarray} \operatorname {ord}(g),\, \operatorname {ord}(h) \end{eqnarray}$ teilerfremd sein, gilt sogar $\begin{eqnarray} \operatorname {ord}(gh)=\operatorname {ord}(g)\operatorname {ord}(h) \end{eqnarray}$ . Also aus Teil 1 weiß man ja, dass $\begin{eqnarray} \operatorname {ord}(gh) \end{eqnarray}$ das kgV von $\begin{eqnarray} \operatorname {ord}(g) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \operatorname {ord}(h) \end{eqnarray}$ teilt. Kurz: Wegen der Teilerfremdheit gilt in Teil 2 dann $\begin{eqnarray} \operatorname {ord}(gh)\; \| \operatorname {ord}(g)\operatorname {ord}(h) \end{eqnarray}$ . Das ist aber noch nicht der (ganze) Beweis...
04.11.2019, 18:01	RollenderRubel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenelementordnung Ach weißt du was, mit kam gerade (endlich mal selbst) eine Idee: Sei $\begin{eqnarray} t\in T(mn)\! \setminus \! \{mn\} \end{eqnarray}$ . Dann gilt wegen der Teilerfremdheit doch $\begin{eqnarray} t\|\operatorname{ord}g \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} t\|\operatorname{ord}h \end{eqnarray}$ , aber nicht beides. Also ist $\begin{eqnarray} (gh)^t\neq e \end{eqnarray}$ ?
04.11.2019, 23:18	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenelementordnung Das stimmt so nicht: Beispiel ord(g)=14, ord(h)=15, t=6 ist Teiler von ord(g)ord(h) aber weder von ord(g) noch von ord(h). Edit: Ich würde versuchen, eine Bijektion von $\begin{eqnarray} <gh> \end{eqnarray}$ , der von $\begin{eqnarray} gh \end{eqnarray}$ erzeugten Gruppe auf das kartesische Produkt $\begin{eqnarray} <g>\times<h> \end{eqnarray}$ zu finden. Dann wäre $\begin{eqnarray} ord(gh)=\|<gh>\|=\|<g>\|\,\|<h>\|=ord(g)ord(h) \end{eqnarray}$ . Die Abbildung $\begin{eqnarray} (gh)^j\mapsto (g^j,h^j) \end{eqnarray}$ ist eine naheliegende Wahl. Aber so richtig elegant wird das gerade auch nicht. Zu Fuß bekommt man es auch hin: Setze $\begin{eqnarray} \gamma=ord(g), \theta=ord(h), ord(gh)=\frac{\gamma}{\gamma_0}\frac{\theta}{\theta_0} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \gamma_0\|\gamma \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \theta_0\|\theta \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} 1=(gh)^{ord(gh)}=g^{\frac{\gamma}{\gamma_0}\frac{\theta}{\theta_0}} h^{\frac{\gamma}{\gamma_0}\frac{\theta}{\theta_0}} \end{eqnarray}$ also auch $\begin{eqnarray} 1=1^{\gamma_0}=g^{\gamma\frac{\theta}{\theta_0}} h^{\gamma\frac{\theta}{\theta_0}}=h^{\gamma\frac{\theta}{\theta_0}} \end{eqnarray}$ Daraus folgert man $\begin{eqnarray} \theta_0\|\gamma \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} \theta_0=1 \end{eqnarray}$

Neue Frage »

Antworten »

Gruppenelementordnung

Verwandte Themen