Bernoulli-Ungleichung

04.11.2019, 17:13

Mathestudentin123

Bernoulli-Ungleichung

Meine Frage:
Hey, weiß jemand, wie man beweist, dass die Bernoulli-Ungleichung für $\begin{eqnarray*} -2 \leq x < -1 \end{eqnarray*}$ gilt?

Meine Ideen:
Vollständige Induktion wird hier wahrscheinlich nichts bringen. Kann mir itte jemand helfen?

04.11.2019, 20:18

Leopold

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Du schreibst von einer Ungleichung, gibst diese aber gar nicht an. Woher soll man dann wissen, was da gelten soll und wie man es beweist? Die Ungleichung, die ich als Bernoulli-Ungleichung kenne, ist in der mir bekannten Form für deine x falsch. Ich weiß aber nicht, was du unter Bernoulli-Ungleichung verstehst.

04.11.2019, 20:34

Mathestudentin123

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Hast recht, sorry. Ich rede davon zu beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \geq 1+nx \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x \geq -2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt.

Dass die Ungleichung für $\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$ gilt, ist ja allgemein bekannt, aber wir sollen zeigen, dass sie für $\begin{eqnarray*} x \geq -2 \end{eqnarray*}$ gilt. Das wollte ich mit einer Fallunterscheidung mit $\begin{eqnarray*} -2 \leq x < -1 \end{eqnarray*}$ (1.Fall) und $\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$ (2.Fall) machen.

Allerdings bereitet mir Fall 1 Probleme. Wisst ihr vielleicht Rat?

04.11.2019, 20:39

HAL 9000

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Für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist nichts zu beweisen. Für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} -2\leq x\leq -1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |1+x|\leq 1 \end{eqnarray*}$ , damit kann man abschätzen

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq -|1+x|^n\geq -1\geq 1 + 2x\geq 1 + nx \end{eqnarray*}$ .

04.11.2019, 20:45

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Die Ungleichung, die ich als Bernoulli-Ungleichung kenne, ist in der mir bekannten Form für deine x falsch.

Was interessiert mich mein Geschreibsel von vor einer halben Stunde. Ich nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil.

04.11.2019, 20:50

Mathestudentin123

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So einfach kanns gehen Big Laugh

Vielen Dank!!!!!

04.11.2019, 21:21

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1+nx \end{eqnarray*}$ gilt für $\begin{eqnarray*} x\geq -1 \end{eqnarray*}$ uneingeschränkt auch für alle reellen Exponenten $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$

Das ist bei $\begin{eqnarray*} -2\leq x<-1 \end{eqnarray*}$ nicht der Fall, schlicht weil dort $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ für nichtganzzahlige $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gar nicht als reelle Zahl definiert ist. Augenzwinkern

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