Kleine weitere Frage zu Gruppenelementordnungen

04.11.2019, 18:28	RollenderRubel	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleine weitere Frage zu Gruppenelementordnungen Meine Frage: Ich habe noch eine kleine, weitere Frage zur Thematik Gruppenelementordnungen: Angenommen ich habe eine endliche, abelsche Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . Wenn ich alle Gruppenelementordnungen herauspicke, warum finde ich in dieser Menge nicht nur die Ordnung eines Elements, sonder auch dessen sämtliche Teiler? Meine Ideen: Ich weiß es nicht.
04.11.2019, 18:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte die von einem Gruppenelement erzeugte zyklische Gruppe.
04.11.2019, 18:50	RollenderRubel	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. So halb habe ich bereits in diese Richtung gedacht: Sei $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \operatorname{ord} g=n \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \{g^0,g^1,\dots , g^{n-1}\} \end{eqnarray}$ die von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ erzeugte zyklische Gruppe. Achso. Die Ordnung von $\begin{eqnarray} g^2 \end{eqnarray}$ ist dann $\begin{eqnarray} \frac{n}{2} \end{eqnarray}$ (sofern existent). Und $\begin{eqnarray} g^2\in G \end{eqnarray}$ wegen der Abgeschlossenheit, oder? Bin ich auf dem richtigen Dampfer?
04.11.2019, 19:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, eine von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ erzeugte zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ enthält für jeden Teiler $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} dt=n \end{eqnarray}$ das Element $\begin{eqnarray} g^t \end{eqnarray}$ der Ordnung $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ . (Oder so ähnlich, bitte nachrechnen.) Übrigens: Warum soll die Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ abelsch sein ? $\begin{eqnarray} gg=gg \end{eqnarray}$ , also vertauscht jedes Gruppenelement mit sich selbst.

1

Verwandte Themen