Lipschitz-stetig

04.11.2019, 21:32	Eva95	Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitz-stetig Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe zwei Aufgaben gelöst zur Lipschitz-Stetigkeit aber bin mir nicht 100% sicher, ob das richtig ist. $\begin{eqnarray} \left(a\right) \end{eqnarray}$ Die Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb R ->\mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f\left(x\right):=x^{2} \end{eqnarray}$ ist stetig aber nicht Lipschitz-stetig. $\begin{eqnarray} \left(b\right) \end{eqnarray}$ Die Funktion $\begin{eqnarray} f\left(x\right):=x^{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a,b\in \mathbb R \left(a<b\right) \end{eqnarray}$ ist Lipschitz-stetig. Kann mir jemand sagen, ob das richtig ist? Meine Ideen: Zu $\begin{eqnarray} \left(a\right) \end{eqnarray}$ : Verwende ich den Mittelwertsatz für den Beweis dann gilt: $\begin{eqnarray} f'\left(\xi \right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right) }{b-a}\Leftrightarrow f'\left(\xi \right)(b-a)=f\left(b\right)-f\left(a\right)\leq \sup(f'(\xi))_{\xi\in \mathbb R }\left(b-a\right) \end{eqnarray}$ und das geht nicht da kein Supremum existiert, weil xi element von den reellen Zahlen ist. Zu $\begin{eqnarray} ?left(b\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right\|=\| x^{2}-y^{2}\|=\|(x-y)(x-y) \|\leq \leq \|x-y \| \|x+y\|\leq \max_{x,y\in \left[a,b\right] } \left(\|x+y\| \right)\|x-y\|=2b\|x-y\| \end{eqnarray}$

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