Matrizenrechnungen

05.11.2019, 00:10

Basilikumlimonade

Matrizenrechnungen

Meine Frage:
Moin!

Ich rechne momentan ein Übungsblatt zu Matrizen im Zuge meines Wirtschaftsstudiums und bin mir an einigen Punkten sehr unsicher, ob meine Rechnungen stimmen. verwirrt

1) Ein Matrix A heißt schiefsymeetrisch, falls A=-(A^T). Zeigen Sie, dass bei schiefsymmetrischen Matrizen alle Hauptdiagonaleelemente a(ii) 0 sind.

2) Lösen Sie nach der Matrix X auf. (A, B, C, I, X sind quadratisch, gleicher Dimension und invertierbar).
a) $\begin{eqnarray*} 6XA+B+2X = C \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} 3A(2X+B)+2X = C(X+2I) \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} 3ABXC = -BXC+4BC \end{eqnarray*}$

Jetzt kamen ein paar Aufgaben zu Gleichungssystemen, Inversenbildung und Rangbestimmung - war Gott sei dank kein großes Problem Big Laugh

3) Ein Produkt p(j) (j=1,2,3) enthalte a(ij) Einheiten des Rohstoffs r(i) (i=1,2,3) mit der Produktionsmatrix A $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

a) In einem Produktionszeitraum stehen die folgenden Rohstoffmengen zur Verfügung: r=(5,6,7)^T . Bestimmen Sie die daraus produzierbaren Produktmenge unter der Annahme, dass die Rohstoffe jeweils restlos aufgebraucht werden.
b) Geben Sie eine Kombination von Rohstoffen r an, die nicht restlos aufgebraucht wird.

4) Ein Betrieb produziert x1 kg Getreide und erbringe x2 km Transportleistung. x ist dabei die Bruttoproduktion, y der Eigenbedarf und z die Nettoproduktion. Der Eigenbedarf ist gegeben durch: $\begin{eqnarray*} y = \begin{pmatrix} 0,05 & 0,5 \\ 0,1 & 0 \\ \end{pmatrix} * x \end{eqnarray*}$ .
Wie groß muss x sein, wenn netto z1=800 kg und z2= 200km verkauft werden?

Meine Ideen:
Ok, ich präsentiere hier mal kurz meine Lösungsideen und Ansätze:

1) Ich habe mir hierfür eine allgemeine Matrix, in der nur 2 Hauptdiagonalelemente enthalten sind, aufgeschrieben, sie transponiert und dann mit -1 multipliziert. Man erhält, dass a(ii)=-a(ii) gelten muss, damit eine Matrix schiefsymmetrisch ist. Das gilt ja logischerweise nur für 0. Also müssen alle Hauptdiagonalelemente 0 sein.
Ist für mich logisch, aber sieht irgendwie nicht richtig nach einem Beweis aus. Big Laugh

2) a) Die erste Gleichung ist relativ simpel. B subtrahieren, X ausklammern, die entstehende Klammer mittels Inverse auf die andere Seite bringen - Ergebnis: $\begin{eqnarray*} (2C-B)*(6A+2I)^{-1} \end{eqnarray*}$

b) Ausmultiplizieren der Klammern, die Summanden mit X und ohne X jeweils auf eine Seite bringen, X ausklammern, wieder mit der Inverse rübermultiplizeren:
Ergebnis: $\begin{eqnarray*} (6A+2I-C)^{-1} *(2C-3AB) \end{eqnarray*}$

c) Hier bin ich mir nun relativ unsicher, weil das X inmitten von anderen Matrizen steht. Nach Ausklammern ergibt sich (3AB+B)*XC=4BC . Kann ich das C jetzt einfach noch mit in die Klammer ziehen oder muss ich die einzelnen Faktoren separat mittels Inversen auf die anderen Seiten bringen. verwirrt

3) a) Bei dieser Aufgabe bin ich mir ziemlich sicher, dass ich mich verrechnet habe. Big Laugh

Allgemein gilt ja für einen Produktionsprozess: r=A*p, wenn r der Rohstoffvektor und p der Produktionsvektor ist. Multipliziert man die inverse Matrix auf die andere Seite, so gilt dann für die Produkte: p=A^(-1)*r.

Also erstmal die Inverse Matrix bilden zu A, es handelt sich um: $\begin{eqnarray*} A ^{-1} = \begin{pmatrix} -0,75 & -0,5 & 1 \\ -0,25 & 0,5 & 0 \\ 1,25 & 0,5 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Wenn man die jetzt mit dem Rohstoffvektor multipliziert, erhält man allerdings: p=(0,25; 1,75; 2,25)^T . Das kann doch eigentlich nicht sein, dann hat man ja keine vollständigen Produkte. verwirrt

b) / vorerst übersprungen

4) Diese Aufgabe lässt sich mit dem Leontief-Modell lösen, auf den Fall angewendet also: x=(I-A)^(-1)*z . Also erstmal I-A bestimmen, davon die Inverse bilden, in dem Fall ist das dann: $\begin{eqnarray*} (I-A) ^{-1} = \begin{pmatrix} 10/9 & 5/9 \\ 1/9 & 19/18 \\ \end{pmatrix} = \end{eqnarray*}$ . Das noch eben mit dem Nettoproduktionsvektor multipliziert, sodass man für die geforderte Nettoproduktion eine notwendige Bruttoproduktion von 1000 kg und 220 km erhält.

So, soweit erstmal meine Überlegungen. Ich hoffe, ich konnte sie einigermaßen nachvollziehbar darstellen Big Laugh

(seht mir nach, dass ich nicht jede Formel mit Latex geschrieben habe, weil sie teilweise doch sehr simpel sind smile

). Danke schon mal für eure Hilfe!

05.11.2019, 08:24

klarsoweit

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RE: Simple Matrizenrechnungen

Zitat:

Original von Basilikumlimonade
c) Hier bin ich mir nun relativ unsicher, weil das X inmitten von anderen Matrizen steht. Nach Ausklammern ergibt sich (3AB+B)*XC=4BC . Kann ich das C jetzt einfach noch mit in die Klammer ziehen oder muss ich die einzelnen Faktoren separat mittels Inversen auf die anderen Seiten bringen. verwirrt

Warum multiplizierst du nicht als erstes von rechts mit der Inversen von C ? smile

05.11.2019, 11:41

Basilikumlimonade

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Stimmt, da hätte man auch selbst drauf kommen können Big Laugh

Ok, dann erhält man ohne C: 3ABX=-BX+4B ; BX auf die andere Seite bringen, ausklammern, das Inverse rüber multiplizieren, fertig:

Das richtige Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} X=(3AB+B)^{-1} *4B \end{eqnarray*}$ , stimmts? smile

Wie sieht es mit den anderen Aufgaben aus? Tanzen

06.11.2019, 19:49

Basilikumlimonade

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Hab nochmal ein bisschen über die Aufgaben gegrübelt. 2) und 4) sollten mMn eigentlich so stimmen.

1) ist vielleicht kein perfekt mathematischer Beweis, aber grundsätzlich für mich erstmal akzeptabel.

Was mir wirklich Kopfzerbrechen bereitet ist 3). verwirrt

Meine Annahme, dass am Ende ganzzahlige Werte beim Matrix-Vektor-Produkt rauskommen müssen, ist doch richtig, oder? verwirrt

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