Konvergenzverhalten von Folgen in M

05.11.2019, 10:57

Please_Helpme

Konvergenzverhalten von Folgen in M

Meine Frage:
Hallo zusammen,
folgende Aufgabe habe ich gegeben:

Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der angegebenen Folgen (x^(n)) in l^2(N). (x^(n) sei = ((x_1)^n, (x_2)^n, ...)

Die einzelnen Folgenglieder sind dabei wie folgt gegeben:

a) (x_k)^n= { 1 (k=n); 0 (sonst)

b) (x_k)^n= { 1/n (k<=n; 0 (sonst)

c) (x_k)^n= { 1/(n+k)

Meine Ideen:
Mein Ansätz wäre nun, das die Folge x_k^n konvergiert, wenn alle Kompentenfolgen konvergieren.

Somit wäre der lim (k->oo) der folge x_k^n:

a) =0, da nur an einer Stelle der Wert 1 angenommen wird, sonst immer 0
b) =0, da 1/n gegen 0 konvergiert (bis bestimmtes n) und ab da ebenfalls den Wert 0 annimt
c) =0, da 1/n+k gegen 0 konvergiert für beliebiges n,k >0

Ich kann mir nur nicht vorstellen, dass alle Folgen tatsächlich gegen 0 konvergieren...

05.11.2019, 11:33

Elvis

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Doch das tun sie. Die ersten beiden trivialerweise, die dritte tut's auch. Bei (b) solltest du den Anfang lieber nicht erwähnen, denn das ist nicht der Grund für die Konvergenz oder für den Limes. Auf den Anfang einer Folge kommt es nie an. Bei (c) könntest du noch eine Begründung angeben, damit letzte Zweifel beseitigt werden.

05.11.2019, 12:20

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Ist denn in a) nicht $\begin{eqnarray*} \|(x_k)^n\|_2=1 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

05.11.2019, 13:07

Elvis

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Sorry, es kann sein, dass ich die Aufgabe missverstanden habe. Ich habe nur a)b)c) gelesen und das für reelle Zahlenfolgen gehalten. Danke URL, dass du mitdenkst.

05.11.2019, 19:13

sunshine345

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Hallo URL,

kannst du das vielleicht erläutern, wieso es gegen 1 konvergiert? Kenne die Aufgabe und stehe vor demselben Problem. Mir fehlt da die Vorstellungskraft..

05.11.2019, 19:23

Elvis

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Es geht um den Folgenraum mit der $\begin{eqnarray*} l^2 \end{eqnarray*}$ -Norm : https://de.wikipedia.org/wiki/Folgenraum#lp
Hätte Please_Helpme das lesbar geschrieben, wäre mir der Lesefehler und die daraus folgende Verwechslung nicht unterlaufen.

05.11.2019, 20:00

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Es ist am Anfang schon verwirrend, dass $\begin{eqnarray*} (x^n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Folge ist, bei der jedes Folgenglied selbst wieder eine Folge ist: $\begin{eqnarray*} x^n=(x^n_k)_{k\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$
Vielleicht hilft es, wenn du bei der Folge $\begin{eqnarray*} x^n=(x^n_k)_{k\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ an eine Funktion $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ denkst $\begin{eqnarray*} f_n:\mathbb{N}\to\mathbb{R}, k\mapsto x^n_k \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} (x^n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Folge von Funktionen - was die Sprachverwirrung vielleicht ein bisschen mindert.

Zitat:

Original von sunshine345
kannst du das vielleicht erläutern, wieso es gegen 1 konvergiert?

Kann ich nicht, weil die Folge nichts dergleichen tut Big Laugh

Es ist nur so, dass für jede solche Folge $\begin{eqnarray*} x^n\in\ell^2 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \|x^n\|_2=1 \end{eqnarray*}$ . Also kann $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ nicht gegen Null konvergieren, denn sonst müsste doch auch $\begin{eqnarray*} \|x^n\|_2 \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergieren. Damit ist die Vermutung von Please_Helpme widerlegt.

Was die Konvergenzuntersuchung angeht kann man sich die Differenz $\begin{eqnarray*} \|x^n-x^m\|_2 \end{eqnarray*}$ anschauen. Für $\begin{eqnarray*} n\neq m \end{eqnarray*}$ hat sie immer den Wert 2, also ist $\begin{eqnarray*} (x^n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ keine Cauchyfolge, kann also nicht konvergieren.

05.11.2019, 20:30

Please_Helpme

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OK, danke dir auf jeden fall schon mal.
Dennoch hab ich noch kein Verständnis für die Aufgabe gefunden.
Ich weiß auch nicht, wie ich die Konvergenz im Raum ℓ2 nachweisen soll.

Wie würde ich das denn z.b. bei a) formal richtig aufschreiben?

05.11.2019, 21:00

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In Teil a) kannst du die Konvergenz überhaupt nicht zeigen, weil die Folge bzgl. der $\begin{eqnarray*} \ell^2 \end{eqnarray*}$ -Norm nicht konvergiert. Wie du das zeigst, habe ich dir auch schon aufgeschrieben. Keine Cauchyfolge, keine Konvergenz.

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