Funktion ist nicht Riemann-integrabel

05.11.2019, 12:29

yannik0103

Funktion ist nicht Riemann-integrabel

Meine Frage:
Hi, ich soll zeigen, dass die folgende Funktion f nicht Riemann-integrabel ist:
Sei $\begin{eqnarray*} (q_{n})_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ eine Abzählung von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \cap (0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_{n} \end{eqnarray*}$ ein offenes Intervall in (0,1) um $\begin{eqnarray*} q_{n} \end{eqnarray*}$ der Länge höchstens $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2^{n}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 < \epsilon < 1 \end{eqnarray*}$ .Sei $\begin{eqnarray*} U:= \bigcup U_{n} \end{eqnarray*}$ und f die Indikatorfunktion von U.

Meine Ideen:
Ich verstehe leider nicht, warum f nicht Riemann-integrabel sein soll. Müsste U nicht das Intervall komplett ausfüllen und das Integral von f somit 1 sein?

05.11.2019, 16:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von yannik0103
Müsste U nicht das Intervall komplett ausfüllen und das Integral von f somit 1 sein?

Weit gefehlt: Es ist

$\begin{eqnarray*} \lambda(U) = \lambda\left( \bigcup_{n\geq 1} U_n\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \lambda(U_n) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\epsilon}{2^n} = \epsilon < 1 \end{eqnarray*}$ ,

und damit umfasst $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ mitnichten das ganze Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von yannik0103
Ich verstehe leider nicht, warum f nicht Riemann-integrabel sein soll.

Wenn es Riemann-integrierbar wäre, dann müsste da auch der Lebesgue-Integralwert $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 1_U(x) ~ \lambda(\dd x) = \lambda(U\cap (0,1)) < 1 \end{eqnarray*}$ herauskommen. Geht aber nicht, da alle zugehörigen Riemannschen Obersummen hier gleich 1 sind, wie fein man die Unterteilung auch wählen mag.

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