Punktweise Konvergenz

05.11.2019, 14:14	yannik0103	Auf diesen Beitrag antworten »
Punktweise Konvergenz Meine Frage: Hi, ich soll für folgende Funktionenfolge zeigen, dass ich die Folge $\begin{eqnarray} (a_{n}) \end{eqnarray}$ so wählen kann, dass $\begin{eqnarray} (f_{n}) \end{eqnarray}$ nicht punktweise fast überall konvergiert: Sei $\begin{eqnarray} \frac{1}{2n} < a_{n} < 1 - \frac{1}{2n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_{n}(x)=2n(x-a_{n}+\frac{1}{2n}) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a_{n}-\frac{1}{2n} \leq x \leq a_{n} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f_{n}(x)=1-2n(x-a_{n}) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a_{n} \leq x \leq a_{n}+\frac{1}{2n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_{n}(x)=0 \end{eqnarray}$ sonst. Meine Ideen: Also damit $\begin{eqnarray} f_{n} \end{eqnarray}$ nicht punktweise fast überall konvergiert, muss ich die Folge $\begin{eqnarray} (a_{n}) \end{eqnarray}$ so wählen, dass ein Teilintervall von (0,1) existiert auf dem $\begin{eqnarray} f_{n} \end{eqnarray}$ nicht punktweise konvergiert. Aber wie soll ich die Folge wählen? Die Intervalle in denen $\begin{eqnarray} f_{n} \end{eqnarray}$ ungleich 0 ist werden doch wenn ich n vergrößere beliebig klein, also wie soll das funktionieren?
05.11.2019, 15:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt ja so ähnliche Konstruktionen für Funktionen, die im quadratischen Mittel, aber nicht punktweise konvergieren... Auf Basis dessen versuche es mal mit $\begin{eqnarray} a_n = \frac{2n+1-2^{m+1}}{2^{m+3}} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 2^m\leq n < 2^{m+1} \end{eqnarray}$ : Dann findest du für JEDES $\begin{eqnarray} x\in \left[0,\frac{1}{4}\right) \end{eqnarray}$ unendlich viele Indizes $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_n(x)\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ als auch unendlich viele mit $\begin{eqnarray} f_n(x)=0 \end{eqnarray}$ .

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