Teilbarkeitsaussage

06.11.2019, 21:30

Quasserlnion

Teilbarkeitsaussage

Meine Frage:
Servus. Ich sitze seit bald einer Stunde hieran:

Seien $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb N^+ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Menge mit der Eigenschaft:

1) $\begin{eqnarray*} m\in M\Rightarrow T_m\subset M \end{eqnarray*}$ .
2) $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ teilerfremd $\begin{eqnarray*} \Rightarrow mn\in M \end{eqnarray*}$ .

Behauptung: $\begin{eqnarray*} m|\operatorname{max}M\quad \forall m\in M \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mir fehlt der Ansatz... :-/

06.11.2019, 21:34

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RE: Teilbarkeitsaussage
Was ist $\begin{eqnarray*} T_m \end{eqnarray*}$ ? Was ist noch über M bekannt? So nehme ich eine offenen Teilmenge der reellen Zahlen und habe nicht mal ein Maximum. Du musst schon präziser werden.

06.11.2019, 21:39

Quasserlnion

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RE: Teilbarkeitsaussage
$\begin{eqnarray*} T_m \end{eqnarray*}$ ist die Teilermenge von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .

Also es ist $\begin{eqnarray*} M\subset \mathbb N^+ \end{eqnarray*}$ und es ist stets $\begin{eqnarray*} 1\in M \end{eqnarray*}$ (das wäre auch der einfachste Fall).

06.11.2019, 21:41

Quasserlnion

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RE: Teilbarkeitsaussage
Oh und $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist endlich, habe ich noch vergessen.

06.11.2019, 21:57

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RE: Teilbarkeitsaussage
Wird bei 2) noch vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} m,n\in M \end{eqnarray*}$ sind oder nur, dass sie teilerfremd sind?
Warum postest du nicht einfach die ganze Aufgabe?

06.11.2019, 21:57

Quasserlnion

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RE: Teilbarkeitsaussage
Noch was nicht ganz glücklich formuliert: 1) Also wenn ein $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ ist, so ist auch die gesamte Teilermenge von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthalten.

06.11.2019, 22:03

Quasserlnion

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RE: Teilbarkeitsaussage

Zitat:

Original von URL
Wird bei 2) noch vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} m,n\in M \end{eqnarray*}$ sind oder nur, dass sie teilerfremd sind?
Warum postest du nicht einfach die ganze Aufgabe?

Okay: $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist die Menge der Ordnungen der Elemente einer endlichen, abelschen Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Die Aussage ist: $\begin{eqnarray*} \operatorname {ord} g|\operatorname{max}M\quad \forall g\in G \end{eqnarray*}$

Und für alle Elementordnungen $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ gilt 1)+2), das haben wir bewiesen.

07.11.2019, 11:01

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RE: Teilbarkeitsaussage
Wenn $\begin{eqnarray*} ord(g) \end{eqnarray*}$ kein Teiler von max M wäre, muss es da einen unverträglichen Faktor geben. Deswegen schaut man sich den Faktor $\begin{eqnarray*} ord(g)/ggt(ord(g),max\, M) \end{eqnarray*}$ an - der zu max M teilerfremd ist.

Edit: M durch max M ersetzt. Danke HAL

07.11.2019, 11:12

HAL 9000

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Damit keine Irritationen in der Symbolik vorkommen: Mit $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ meinst du in diesem deinen letzten Beitrag, was oben noch $\begin{eqnarray*} \max M \end{eqnarray*}$ war!

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