Nichtleere endliche Menge injektiv, wenn surjektiv |
07.11.2019, 20:54 | Isy13 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nichtleere endliche Menge injektiv, wenn surjektiv habe folgende Aufgabe und komme einfach nicht weiter: Sei X eine endliche Menge. Beweisen Sie die folgende Aussage: a) ist X eine endliche Menge mit n Elementen, so ist eine Abbildung f: X->X genau dann injektiv, wenn sie surjektiv ist. b) a muss nicht gelten, wenn die Menge X unendlich viele Elemente besitzt Mein Ansatz ist folgender: Beweis durch vollständige Induktion n=|M| Induktionsanfang: n=1 --> ist richtig, da die Menge aus nur einem Element besteht und die einzige Abbildung somit surjektiv und injektiv ist. Induktionsvoraussetzung: Behauptung sei für alle Mengen M mit |M| n f: M->M richtig. Induktionsschritt: z.Z. Behauptung stimmt für alle Mengen M mit |M|=n+1 sei |M|=n+1 und f: M->M eine subjektive Abbildung z.Z. f ist injektiv So und da hört es dann leider auf. wie muss ich einschränken, damit ich Dur Induktion weiter beweisen kann? Ich hoffe mit kann jemand helfen Liebe Grüße Isy |
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08.11.2019, 07:20 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Überlege, was die Funktion f mit dem n+1-ten Element machen kann. Viele Möglichkeiten gibt es da nicht mehr. Ein direkter Beweis mit einfachen Worten dürfte leichter sein und zeigt, dass man die Definitionen verstanden hat. |
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08.11.2019, 10:05 | Isy13 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das heißt, für eine Induktion müsste n-1 nehmen, um zu zeigen, dass es für jede endliche Menge gilt? Und als direkter Beweis mit Worten müsste es dann heißen: Wenn eine endliche Menge besteht, dann gibt es für jede Abbildung M einen Wert X und damit ist es surjektiv, was bedeutet, dass es für jedes X genau eine Abbildung M gibt, woraus sich schließen lässt, dass es dadurch auch injektiv ist? |
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08.11.2019, 11:23 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast Induktion vorgeschlagen, dann solltest du auch wissen, wie man das macht. Induktionsvoraussetzung: Sei eine endliche Menge mit Elementen und eine Funktion. Dann gilt: injektiv surjektiv. Induktionsschritt: Sei eine endliche Menge mit Elementen und eine Funktion. Zu zeigen: injektiv surjektiv. Die Aussage gilt für jede Einschränkung von auf jede -elementige Teilmenge , und das -te Element kann dann durch nur noch auf sich abgebildet werden, weil sonst nicht injektiv oder nicht surjektiv ist. Jetzt fängt das Problem an: Nicht jede bijektive Funktion lässt sich so auf eine echte Teilmenge einschränken. Zum Beispiel klappt das schon nicht bei . Ich weiß nicht, wie du die Induktion retten willst. Vorschlag zum Beweis mit einfachen Worten. Hat M n Elemente, dann ordnet eine Selbstabbildung f jedem Element genau ein Element aus M zu. Ist f injektiv, dann sind die n Bilder paarweise verschieden, das sind also alle Elemente von M, mithin ist f surjektiv. Ist f nicht injektiv, dann haben zwei Urbilder dasselbe Bild. Dann bleiben aber nicht genug Urbilder übrig, um durch f alle Elemente von M als Bild zu erreichen, also ist f nicht surjektiv. qed. |
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08.11.2019, 12:35 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für einen Induktionsbeweis könnte man zwei Ansätze versuchen: 1. Man beweist die Aussage allgemeiner für Abbildungen mit endlichen, gleichmächtigen Mengen 2. Man verkettet f mit einer Bijektion g, so dass einen Fixpunkt hat. Allerdings finde ich einen Induktionsbeweis hier auch nicht angebracht. Ist , dann muss man sich nur die Menge anschauen und landet bei Elvis' Argumentation |
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