Divergenz beweisen

08.11.2019, 16:44

LenaLenaX

Divergenz beweisen

Meine Frage:
Hallo! Wisst ihr, wie ich die Divergenz von

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{(2n)^{n}} \end{eqnarray*}$

beweisen kann? Hänge an dieser Aufgabe ein wenig fest

Meine Ideen:
Durch geeignete Abschätzung?

Ich habe bereits bewiesen, dass die Folge monoton steigend ist. Aber leider weiß ich nicht, wie man beweist, dass sie unbeschränkt ist, könnt ihr mir bitte helfen?

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

08.11.2019, 17:15

G081119

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RE: Divergenz beweisen
Versuchs mal mit dem Quotientenkriterium.

08.11.2019, 17:19

LenaLenaX

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RE: Divergenz beweisen
Danke, aber ich dachte, das benutzt man nur bei Reihen?

08.11.2019, 17:42

HAL 9000

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Es ist gewissermaßen das Quotientenkriterium für Folgen:

Gibt es ein $\begin{eqnarray*} q>1 \end{eqnarray*}$ sowie ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \geq q \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt, dann divergiert die Folge. Ist die Folge positiv, dann handelt es sich um eine bestimmte Divergenz gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

08.11.2019, 18:38

LenaLenaX

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Okay, danke, HAL! Ich habe jetzt für $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{(2n)!}{(2n)^{n}} \end{eqnarray*}$ das Folgende

$\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| = ... = \frac{(2n+1)(2n)^{n}}{(2n+2)^{n}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt per Induktion zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{(2n+1)(2n)^{n}}{(2n+2)^{n}} \geq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ?

08.11.2019, 19:16

HAL 9000

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Naja, es ist etwas anders dargestellt

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2n+1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \geq \frac{2n+1}{e} \end{eqnarray*}$ ,

denn die Nennerfolge $\begin{eqnarray*} n\mapsto \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ konvergiert bekanntlich (?!) monoton wachsend gegen $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ . Wir können daher locker $\begin{eqnarray*} q=\frac{3}{e} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_0=1 \end{eqnarray*}$ für obiges Kriterium wählen.

08.11.2019, 19:41

LenaLenaX

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Danke

Bist du ausgehend von meinem Ergebnis zu $\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{(1 +\frac{1}{n})^{n}} \end{eqnarray*}$ gelangt oder unabhängig davon? Ich frage, damit ich weiß, ob ich beim Umformen ein Fehler gemacht habe, oder einfach nur noch weiter umformen muss

P.S.: Also dass $\begin{eqnarray*} (1 +\frac{1}{n})^{n} \to e \end{eqnarray*}$ weiß ich zwar, aber es kam in der Vorlesung (noch?) nicht dran. Auch das Quotientenkriterium wurde noch mit keinem Wort erwähnt, nicht einmal das für Reihen. Wir sind noch ganz bei den Folgen. Deshalb frage ich mich (und auch dich), ob es nicht auch einen anderen Ansatz gibt?

08.11.2019, 21:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von LenaLenaX
Ich frage, damit ich weiß, ob ich beim Umformen ein Fehler gemacht habe, oder einfach nur noch weiter umformen muss

Dein Quotient ist richtig, sonst hätte ich dich schon auf einen Fehler aufmerksam gemacht. Ich habe ja wohlgemerkt von "anderer Darstellung" statt "anderem Resultat" geredet. Augenzwinkern

Zitat:

Original von LenaLenaX
Auch das Quotientenkriterium wurde noch mit keinem Wort erwähnt

Herrje, das ist so primitiv, dass man es auch schnell beweisen kann: Mit der Quotientenabschätzung ist klar, dass die Folge (besser gesagt deren Betrag) nach unten abgeschätzt werden kann durch eine geometrische Folge mit Faktor $\begin{eqnarray*} q>1 \end{eqnarray*}$ . Weißt du von der auch nicht, dass sie bestimmt gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ divergiert?

08.11.2019, 22:39

LenaLenaX

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Stimmt, sorry, nach kurzem Rechnen kann ich deine Umformung jetzt auch nachvollziehen, von daher: Danke smile

Und danke für den Tipp! Von der geometrischen Folge hatte ich vorher noch nichts gehört, aber kurzes Googeln ergab: Eine Folge, bei der der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist ( $\begin{eqnarray*} a_{i+1} := a_{i} \cdot q \end{eqnarray*}$ ).

Dass heißt nun also, dass unsere Folge größer als eine geometrische Folge mit $\begin{eqnarray*} q = \frac{3}{e} \end{eqnarray*}$ und positiven $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ ist und deshalb divergiert sie bestimmt gegen unendlich?

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