Verständnisschwierigkeit Quotientengruppe

09.11.2019, 10:43	Asau	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisschwierigkeit Quotientengruppe Meine Frage: Guten Morgen, Ich verstehe $\begin{eqnarray} G/N \end{eqnarray}$ nicht ganz. Also klar, es ist $\begin{eqnarray} G/N:=\{gN:g\in G\} \end{eqnarray}$ . Ich habe also eine Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und einen ihrer Normalteiler $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ , d.h. eine Untergruppe, bei der Links- und Rechtsnebenklasse gleich sind. Soweit verstanden. Wenn ich das aber auf konkrete Beispiele wie $\begin{eqnarray} \mathbb Z,\; D_n,\; S_n \end{eqnarray}$ anwende, scheiter ich. Bei $\begin{eqnarray} G=\mathbb Z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N=5\mathbb Z \end{eqnarray}$ ist mir mittlerweile klar, was $\begin{eqnarray} \mathbb Z /5\mathbb Z \end{eqnarray}$ ist. Gibt es nicht allgemein einen Trick, wie ich eine Quotientengruppe schnell aufschreiben kann? Meine Ideen: "/" deutet ja an, dass man etwas rauskürzt
09.11.2019, 11:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde eher sagen, daß / eine Einteilung vornimmt: lateinisch quotiens, deutsch wie oft. Nehmen wir / einmal als Divisionszeichen in $\begin{align} \mathbb{N} \end{align}$ . 28/4 kann verbalisiert werden: Wie oft paßt die 4 in die 28? Lösung: 28 = 4+4+4+4+4+4+4, also paßt die 4 siebenmal in die 28, und folglich ist 28/4 = 7. Auch bei der Quotientenbildung $\begin{align} G/N \end{align}$ nimmt man eine Einteilung von $\begin{align} G \end{align}$ vor, und zwar in die Restklassen von $\begin{align} N \end{align}$ . Wenn also $\begin{align} g_1,g_2,\ldots \end{align}$ ein Vertretersystem der Restklassen ist, dann gilt $\begin{align} G = (g_1 N) \, \dot \cup \, (g_2 N) \, \dot \cup \, \ldots \end{align}$ als disjunkte Vereinigung. Wenn etwa $\begin{align} \mathbb{Z} \end{align}$ in Restklassen modulo 3 zerlegt wird, dann ist $\begin{align} N = 3 \mathbb{Z} = \left\{ \ldots,-9,-6,-3,0,3,6,9, \ldots \right\} \end{align}$ der Normalteiler, in dessen Restklassen zerlegt wird, jetzt natürlich in additiver Schreibweise: $\begin{align} \mathbb{Z} = N \, \dot \cup \, \left( 1 + N \right) \, \dot \cup \, \left( 2 + N \right) \end{align}$ $\begin{align} = \left\{ \ldots,-9,-6,-3,0,3,6,9, \ldots \right\} \, \dot \cup \, \left\{ \ldots,-8,-5,-2,1,4,7,10, \ldots \right\} \, \dot \cup \, \left\{ \ldots,-7,-4,-1,2,5,8,11, \ldots \right\} \end{align}$ Bei der Quotientengruppe werden nun die Restklassen selber als Objekte aufgefaßt, die man addiert: $\begin{align} (1+N) + (2+N) = \left\{ \ldots,-8,-5,-2,1,4,7,10, \ldots \right\} + \left\{ \ldots,-7,-4,-1,2,5,8,11 \right\} \end{align}$ $\begin{align} = \left\{ \ldots,-9,-6,-3,0,3,6,9, \ldots \right\} = N \end{align}$ Die Addition der Mengen erfolgt elementweise: Addiert man alle möglichen Elemente von $\begin{align} 1+N \end{align}$ mit allen möglichen Elemente von $\begin{align} 2+N \end{align}$ , erhält man alle möglichen Elemente von $\begin{align} N \end{align}$ , also $\begin{align} (1+N)+(2+N) = N \end{align}$ Wie man konkret mit Restklassen rechnet, habt ihr sicher in der Vorlesung durchgenommen.
09.11.2019, 11:52	Asau	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das hilft mir schonmal weiter. Ich wollte es gerade mal für $\begin{eqnarray} D_n \end{eqnarray}$ porbieren, habe aber festgestellt, dass selbst auf den/die echten Normalteiler von $\begin{eqnarray} D_2 \end{eqnarray}$ zu kommen bereits schwierig ist . Dass die Menge der Drehungen Normalteiler ist, habe ich schnell gesehen. Sind aber sicher nicht alle echten Normalteiler, oder?
09.11.2019, 12:12	Asau	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Menge der Spiegelungen $\begin{eqnarray} \{ \operatorname{id}, s_1, \dots , s_n \} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} D_n \end{eqnarray}$ ist kein Normalteiler, ja noch nicht einmal eine Untergruppe. Genauso ist jede Teilmenge davon, die eine Spiegelung enthält, kein Normalteiler.
09.11.2019, 14:13	Asau	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, $\begin{eqnarray} D_n \end{eqnarray}$ ist ein blödes Beispiel um zu üben merke ich immer mehr . Aber ich habe es jetzt glaube ich verstanden. Danke!
09.11.2019, 14:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei den Diedergruppen gehen die Bezeichnungen in der Literatur etwas durcheinander. Ich nehme einmal $\begin{align} D_4 \end{align}$ als Symmetriegruppe des Quadrats. Nummeriert man die Ecken des Quadrats einmal herum mit 1,2,3,4, so kann man die Elemente von $\begin{align} D_4 \end{align}$ als Permutationen dieser Zahlen auffassen, womit $\begin{align} D_4 \end{align}$ eine Untergruppe von $\begin{align} S_4 \end{align}$ wird. Die Mittelsenkrechte der Seiten 12 und 43 ist Symmetrieachse des Quadrats, die Spiegelung an dieser ist in Zykelschreibweise $\begin{align} \sigma = (12)(34) \end{align}$ Weiter hat man die Drehung $\begin{align} \delta = (1234) \end{align}$ Nehmen wir noch $\begin{align} \varepsilon \end{align}$ als Zeichen für die Identität, dann ist $\begin{align} D_4 \end{align}$ vollständig bestimmt durch die Relationen $\begin{align} \sigma^2 = \delta^4 = \varepsilon \, , \ \ \delta \sigma \delta = \sigma \end{align}$ Aus der letzten Relation folgt durch mehrfache Multiplikation mit $\begin{align} \delta \end{align}$ oder $\begin{align} \delta^{-1} = \delta^3 \end{align}$ von links und rechts: $\begin{align} \delta^k \sigma \delta^k = \sigma \end{align}$ für alle ganzzahligen $\begin{align} k \end{align}$ . $\begin{align} D_4 \end{align}$ wird von $\begin{align} \delta \end{align}$ und $\begin{align} \sigma \end{align}$ erzeugt und besteht aus 8 Elementen: $\begin{align} D_4 = \left\{ \varepsilon, \delta, \delta^2, \delta^3, \sigma, \sigma \delta, \sigma \delta^2, \sigma \delta^3 \right\} \end{align}$ Rechenbeispiel: $\begin{align} \sigma \delta^2 \cdot \sigma = \sigma \delta^2 \cdot \delta \sigma \delta = \sigma \delta^2 \cdot \delta \cdot \delta \sigma \delta \cdot \delta = \sigma \delta^4 \sigma \delta^2 = \sigma^2 \delta^2 = \delta^2 \end{align}$ Die Untergruppen von $\begin{align} D_4 \end{align}$ müssen von der Ordnung 1,2,4,8 sein. Da sind zunächst die trivialen Untergruppen $\begin{align} \{ \varepsilon \} \end{align}$ und $\begin{align} D_4 \end{align}$ . Dann hat man vier Untergruppen der Ordnung 2, die jeweils von einer der Spiegelungen $\begin{align} \sigma \delta^k \end{align}$ erzeugt werden. Weiter gibt es noch die von $\begin{align} \delta^2 \end{align}$ erzeugte Untergruppe der Ordnung 2. Zusammen sind das 5 Untergruppen der Ordnung 2. Die von $\begin{align} \delta \end{align}$ erzeugte Untergruppe hat die Ordnung 4. Gibt es noch weitere? Nehmen wir die von $\begin{align} \delta^2 \end{align}$ und $\begin{align} \sigma \end{align}$ erzeugte Untergruppe. Neben dem neutralen Element muß sie noch $\begin{align} \sigma \delta^2 \end{align}$ enthalten. Jetzt sieht man aber leicht, daß $\begin{align} U = \left\{ \varepsilon, \delta^2, \sigma, \sigma \delta^2 \right\} \end{align}$ unter der Gruppenoperation abgeschlossen ist. Jedes Element $\begin{align} \neq \varepsilon \end{align}$ hat die Ordnung 2. Damit ist $\begin{align} U \end{align}$ eine Kleinsche Vierergruppe. Auch die von $\begin{align} \delta^2 \end{align}$ und $\begin{align} \sigma \delta \end{align}$ erzeugte Untergruppe ist eine Kleinsche Vierergruppe. Untergruppen der Ordnung 1 $\begin{align} \langle \varepsilon \rangle \end{align}$ Untergruppen der Ordnung 2 $\begin{align} \langle \sigma \rangle \, , \ \ \langle \sigma \delta \rangle \, , \ \ \langle \sigma \delta^2 \rangle \, , \ \ \langle \sigma \delta^3 \rangle \, , \ \ \langle \delta^2 \rangle \end{align}$ Untergruppen der Ordnung 4 zyklisch: $\begin{align} \langle \delta \rangle \end{align}$ ; Kleinsche Vierergruppen: $\begin{align} \langle \delta^2, \sigma \rangle \, , \ \ \langle \delta^2, \sigma \delta \rangle \end{align}$ Untergruppen der Ordnung 8 $\begin{align} D_4 \end{align}$ Das habe ich mir alles ganz elementar zusammengebastelt und hoffe nur, daß ich nichts Wichtiges vergessen habe.
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