Differentialgleichungen Stammfunktion bilden

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Differentialgleichungen Stammfunktion bilden
Meine Frage:
Hallo, ich mache einen Vortrag zu Thema Differentialgleichungen bei exponentiellem Wachstum. Leider verstehe ich nicht wie man von der Differentialgleichung f'(t)=k?f(t) zu seiner Stammfunktion ln|f(t)|=k?t+c kommt.

Meine Ideen:
Ich verstehe dass durch den natürlichen Logarithmus das f'(t) zu ln|f(t) wird und die Konstante k einfach stehen bleibt. Nur die Stammfunktion von f(t) kann ich nicht so richtig nachvollziehen. Zudem frage ich mich woher das c kommt. Auch von der Ableitung von f(t)?

Wäre toll wenn mir das jemand beantworten könnte128149
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde hier keine Kalküle und Verfahren aus der Universitätsmathematik anwenden, die deine Mitschüler nicht verstehen können. Gerade bei der sehr speziellen Differentialgleichung genügt elementare Schulmathematik, wenn man trickreich vorgeht.

An deiner Stelle würde ich zunächst den einfachsten Fall abhandeln: . Deine Mitschüler kennen sicher die e-Funktion als Lösung. Du könntest sie fragen, ob jemandem weitere Lösungen einfallen. Und vielleicht kommt einer auf den Gedanken, einen konstanten Faktor anzubringen, der ja bekanntlich beim Differenzieren erhalten bleibt, womit auch eine Lösung sein muß. Und dann steht die Frage im Raum: Gibt es weitere Lösungen? Wenn man die letzte Funktionsgleichung nach auflöst, erhält man: . Und das zeigt schon den genialen Trick, mit dem man das Problem lösen kann. Man nimmt nämlich an, sei eine Lösung, also . Mit Hilfe dieser Lösung definiert man eine Hilfsfunktion



Jetzt leite die einmal nach den bekannten Regeln ab und verwende . Zeige damit, daß sein muß. Folgerung?

Den Fall für allgemeines kann man wieder mit einem Trick auf den Fall zurückführen. Vielleicht kommst du ja selber drauf.
 
 
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