Konjugationen

09.11.2019, 15:45

Galwa

Konjugationen

Meine Frage:
Servus, ich hoffe mir kann hier geholfen werden:

Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine endliche Gruppe und $\begin{eqnarray*} U\subsetneq G \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe. Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} G\neq \bigcup _{g\in G }gUg^{-1} \end{eqnarray*}$ , indem Sie zunächst $\begin{eqnarray*} |gUg^{-1}| \end{eqnarray*}$ ermitteln sowie die Anzahl der verschiedenen $\begin{eqnarray*} gUg^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} |G|=n\ \Rightarrow\ |U|<n \end{eqnarray*}$

09.11.2019, 17:09

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RE: Konjugationen
$\begin{eqnarray*} gUg^{-1} \end{eqnarray*}$ ist das Bild von U unter einem Isomorphismus. Das erledigt den ersten Teil.

09.11.2019, 20:45

Galwa

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RE: Konjugationen
Dankeschön. Stimmt, Konjugationen beschreiben Gruppenisomorphismen habe ich mir aufgeschrieben.

Eine "Konjugation mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ " ist ja ein Isomorphismus bzw. genauer Automorphismus $\begin{eqnarray*} G\to G,\ g\mapsto xgx^{-1} \end{eqnarray*}$ . Aber du hast ja jetzt von U und nicht von G geredet...

09.11.2019, 21:41

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RE: Konjugationen
Schränke die Abbildung auf U ein und du hast es.

09.11.2019, 21:56

Galwa

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RE: Konjugationen
Okay, also $\begin{eqnarray*} U\to U,\ u\mapsto gug^{-1} \end{eqnarray*}$ , wobei dann auch $\begin{eqnarray*} g\in U \end{eqnarray*}$ ist?

Tut mir Leid, ich habe es noch nicht. Ich finde Konjugationen einfach nur seltsam, und das obwohl ich den halben Nachmittag drangesessen bin.

09.11.2019, 22:14

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RE: Konjugationen
Nicht ganz. Für festes $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \varphi: G\to G, x\to gxg^{-1} \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus.
Dann ist die Einschränkung auf U, also $\begin{eqnarray*} \varphi: U\to \varphi(U), x\to gxg^{-1} \end{eqnarray*}$ auch einer. Also haben $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi(U)= gUg^{-1} \end{eqnarray*}$ gleichviele Elemente

09.11.2019, 22:26

Galwa

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RE: Konjugationen
Achsooo, ja stimmt, danke. Ich glaube, was mich daran die ganze Zeit besorgt gemacht hat, ist, dass ich nicht weiß, wie viele Elemente genau $\begin{eqnarray*} U=gUg^{-1} \end{eqnarray*}$ hat. Ich weiß ja einfach nicht mehr als $\begin{eqnarray*} |U|<|G| \end{eqnarray*}$ , oder?

09.11.2019, 22:38

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RE: Konjugationen
Immerhin weißt du jetzt, dass jede der konjugierten Untergruppen $\begin{eqnarray*} gUg^{-1} \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} |U| \end{eqnarray*}$ Elemente hat. Wenn es also weniger als $\begin{eqnarray*} |G|/|U| \end{eqnarray*}$ solcher konjugierte Untergruppen gibt, ist die Behauptung gezeigt.

09.11.2019, 23:04

Galwa

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RE: Konjugationen
Stimmt! Sorry, jetzt verstehe ich erst den Sinn der in der Aufgabe vorgeschlagenen Vorgehensweise. Danke dir.

Achso und jetzt muss ich mir $\begin{eqnarray*} gUg^{-1}\quad \forall g\in G \end{eqnarray*}$ anschauen?

Dein " $\begin{eqnarray*} |G|/|U| \end{eqnarray*}$ " hat mich sofort an den Satz von Lagrange erinnert, also $\begin{eqnarray*} |G|=|U|\cdot |G/U| \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} |G/U|=\frac{|G|}{|U|} \end{eqnarray*}$ . Die Behauptung bzw. Widerlegung läuft also darauf hinaus, dass hier keine Gleichheit gilt?

$\begin{eqnarray*} G/U \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Nebenklassen $\begin{eqnarray*} gU \end{eqnarray*}$ , was aber nicht $\begin{eqnarray*} gUg^{-1} \end{eqnarray*}$ ist.

Noch eine andere Frage, die mir gerade gekommen ist und mich interessiert: Kann es sein, dass aus dem Satz von Lagrange folgt, dass die Ordnung von Untergruppen stets Teiler der Gruppem sind? Also wenn z.B. $\begin{eqnarray*} |G|=14 \end{eqnarray*}$ , dann kann es wenn dann nur nichttriviale Untergruppen mit 2 und 7 Elementen geben, muss aber nicht?

10.11.2019, 18:25

Elvis

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RE: Konjugationen

Zitat:

Original von Galwa
Noch eine andere Frage, die mir gerade gekommen ist und mich interessiert: Kann es sein, dass aus dem Satz von Lagrange folgt, dass die Ordnung von Untergruppen stets Teiler der Gruppem sind? Also wenn z.B. $\begin{eqnarray*} |G|=14 \end{eqnarray*}$ , dann kann es wenn dann nur nichttriviale Untergruppen mit 2 und 7 Elementen geben, muss aber nicht?

Genau so ist es. Die beiden Gruppen der Ordnung 14 haben Untergruppen der Ordnung 1,2,7 und 14 und sonst keine.

10.11.2019, 19:55

Galwa

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RE: Konjugationen
Danke. Dann gilt also auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} |gUg^{-1}|=|U|\leq \frac{|G|}{2} \end{eqnarray*}$ . Ob mir das weiterhilft?

10.11.2019, 21:01

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RE: Konjugationen
Die Abschätzung stimmt nicht, denn U könnte die triviale Untergruppe $\begin{eqnarray*} U=\{e\} \end{eqnarray*}$ sein.
Die Anzahl der konjugierten Untergruppen von U ist gleich dem Index des Normalisators $\begin{eqnarray*} N(U)=\{g\in G| gU=Ug\} \end{eqnarray*}$ , also gleich $\begin{eqnarray*} |G | / |N(U)| \end{eqnarray*}$ . Das zeigt man im Dunstkreis von Operationen von Gruppen auf Mengen. Warum das jetzt echt kleiner als $\begin{eqnarray*} |G| / |U| \end{eqnarray*}$ sein muss, sehe ich gerade nicht verwirrt

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