Direkte Summe von Vektorräumen

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Baumstamm Auf diesen Beitrag antworten »
Direkte Summe von Vektorräumen
Meine Frage:
Prüfen Sie nach, ob die folgende Summe von Vektorräumen (über R) direkt ist oder nicht, also ob U+V+W gleich der direkten Summe dieser 3 Untervektorräume des Vektorraumes Abb(R,R)

span(sin(x)) + span(sin(x+1)) + span(sin(x+2))

Meine Ideen:
Damit eine Summe direkt ist, muss soweit ich weiss die Summe der Dimensionen der UVR gleich der Dimmension der Summe dieser UVR sein, also ohne dass man noch die Dimensionen der Schnitte abziehen muss. Ich weiss aber weder wie ich die Dimension eines Sinusfunktion berechnen soll, noch wie ich die lineare Unabhängigkeit dieser 3 Sinusfunktionen überprüfen soll. Mit spans, welche Zahlen enthalten, ist das kein Problem aber eine Sinusfunktion erscheint mir da irgendwie "unhandlich" bzw. ist als Vektor(pfeil) schwer vorstellbar. Ich bin um jede Hilfe sehr dankbar.
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RE: Direkte Summe von Vektorräumen
Vergiss die Pfeilspitzen. Big Laugh
Die Elemente des Vektorraumes sind Funktionen, deswegen nennt man so einen VR auch gern Funktionenraum. Das bedeutet insbesondere, dass alle auftretenden Funktionen den gleichen Definitionsbereich haben.
Sind f,g zwei Elemente des Funktionenraums, dann prüft man lineare Unabhängigkeit wie gewohnt: af+bg=0 geht nur für a=b=0. Jetzt muss man sich klar machen, dass auf beiden Seiten der Gleichung Funktionen stehen, rechts die konstante Nullfunktion. Also bedeutet das af(x)+bg(x)=0 für alle x im Definitionsbereich.

Beispiel mit den reellen Funktionen . af+bg=0 wird also zu
für alle reellen x. Jetzt muss man nur passende Werte für x einsetzen und bekommt a=b=0 heraus. Also sind f und g linear unabhängig.

Das kannst du jetzt auf dein Beispiel übertragen.
 
 
Baumstamm Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Direkte Summe von Vektorräumen
Hmm also irgendwie habe ich immer noch einen Knoten in der Leitung. Wie ist das genau gemeint mit dem Einsetzten von Werten für x, damit a=b=0 wird? Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich jetzt a*sin(x) + b*sin(x+1) + c*sin(x+2) = 0 betrachten . Aber lineare Unabhängigkeit wäre ja dann erst bewiesen, wenn ich alle x eingesetzt habe, was allerdings etwas dauern dürfte. Ausserdem muss doch lineare Unabhängigkeit für alle x gelten, also wieso darf ich einfach einsetzen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp1: Lies noch einmal die Definition für "linear unabhängig" durch.
Tipp 2: Additionsformeln für Winkelfunktionen https://mathepedia.de/Additionstheoreme.html
Baumstamm Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir das angeschaut und würde von mir behaupten, die Definition der linearen Unabhängigkeit zu kennen. Und mit den Aditionstheoremen ist das so eine Sache: Ich sehe nicht wirklich, was mir diese helfen sollten, ich darf die aber leider auch gar nicht benutzen, da sie noch nicht in der Vorlesung behandelt wurden. Wenn ich so einen fundamentalen Denkfehler mache, dann wäre ich sehr froh, wenn mir den jemand sagen könnte.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Baumstamm
Und mit den Aditionstheoremen ist das so eine Sache: Ich sehe nicht wirklich, was mir diese helfen sollten,


Die Additionstheoreme sind genau der Schlüssel. Ohne sie wird es wohl nicht gehen.

Zitat:
Original von Baumstamm
ich darf die aber leider auch gar nicht benutzen, da sie noch nicht in der Vorlesung behandelt wurden.


Die Aufgabe dürfte aus einer Vorlesung der Linearen Algebra stammen. Da baut vielleicht Herr oder Frau Professor darauf, daß sein Kollege oder seine Kollegin aus der Analysis-Vorlesung die Additionstheoreme bereits behandelt haben. Es soll auch Professoren geben, die nicht mitbekommen haben, was heute an der Schule noch so gelehrt wird, und der irrigen Meinung sind, die Additionstheoreme würden deutschlandweit in der Mittelstufe eines Gymnasiums behandelt.

Man hat drei Funktionen



und muß überprüfen, ob diese linear unabhängig sind. Ich will das Ergebnis einmal verraten. Mit ist



eine nichttriviale Darstellung der Null. Und das beweist man … mit den Additionstheoremen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. Ich glaube nicht, dass du die Definition verstanden hast, sonst könntest du sie anwenden.
2. Ich kenne die Additionsformeln aus der Schule, und ich habe keine Ahnung, wie ich die Aufgabe sonst bearbeiten könnte. Wenn du nicht weißt, wie die Formeln hier verwendet werden können, dann liegt es an 1.
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Wie wäre es damit: Man setzt in a*sin(x) + b*sin(x+1) + c*sin(x+2) = 0 der Reihe nach die Werte x=0, x=-1, x=-2 ein. Das liefert ein LGS für a,b,c mit schiefsymmetrischer 3x3 Matrix. Deren Determinante ist Null.
Edit: Hm, ja, Blödsinn Forum Kloppe
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