Gemeinsame Punkte bei Scharen

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mathefan007 Auf diesen Beitrag antworten »
Gemeinsame Punkte bei Scharen
Hallo,
ich habe eine Frage zu dem Aufgabentyp, gemeinsame Punkte bei Scharen zu bestimmen. Klassisch geht man ja dabei vor zwei verschiedene Parameter zu nehmen, dann die Terme gleichsetzt und dann nach den von den Parametern unabhängigen Lösungen sucht.

Nun habe ich den Ansatz gefunden (die Aufgabe ist, man soll zeigen dass es genau zwei Punkte Punkt, durch den alle Graphen der Schar verlaufen) zunächst konkrete Werte für den Parameter zu nehmen und dann gleichsetzt. Es kommen dann hier zwei Lösungen raus, unabhängig vom Parameter. Aber warum reicht das?

Klar, es kann nicht mehr Lösungen für alle Parameter geben, wenn es für diese beiden schon nur zwei gibt. Aber fehlt dann nicht der Nachweis, dass es nicht weniger geben kann?

Irgendwie reicht mir das nicht aus.

Danke!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du recht. Das reicht nicht aus. Man kann zunächst zwei konkrete Parameterwerte nehmen - wer einen Blick dafür hat, am besten solche, die zu einfachen Rechenausdrücken führen - und damit die gemeinsamen Punkte zweier spezieller Graphen ausrechnen. Anschließend muß man aber mit den gefundenen Punkten die Punktprobe für einen allgemeinen Parameterwert durchführen.
 
 
mathefan007 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Punktprobe in die allgemeine Funktionsgleichung wird schon gemacht, das habe ich vergessen. Aber mich stört eben, dass damit gezeigt werden soll, dass es genau zwei Punkte geben soll.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gemeinsame Punkte bei Scharen
Statt mit 2 konkreten Parameterwerten zu rechnen, könntest Du auch 2 beliebige, aber verschiedene Parameterwerte ansetzen. An der richtigen Stelle die richtige Idee, dann verschwinden die Parameter aus der Gleichung und man kann alle x-Werte berechnen, die denselben Funktionswert y unabhängig vom Parameter liefern.
Das ist nur für Schüler unangenehmer, da sie Parameter allgemein schon nicht so gern mögen und sie bei dieser abstrakteren Methode die Parameter mitschleppen müssen, während sie sich bem Einsetzen konkreter Werte in freundlichere Zahlen verwandeln.

Beipiel:

Bestimme rechnerisch alle Punkte, die auf allen Graphen der Schar liegen.
Ansatz: Verwende
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ klauss

Das war doch gar nicht das Problem von mathefan007.

@ mathefan007

Was stört dich? Wenn es Punkte gibt, die auf allen Graphen der Schar liegen, dann müssen diese auch auf zwei speziellen Graphen der Schar liegen. Indem du diese beiden Graphen schneidest, bekommst du die möglichen Kandidaten. Die mußt du jetzt noch darauf testen, ob sie auch auf allen Graphen der Schar liegen.
mathefan007 Auf diesen Beitrag antworten »

Mich "stört" folgendes an dieser Vorgehensweise: Ich habe nun für zwei spezielle Werte des Parameters raus, dass zwei Punkte auf dem Graphen liegen. Wenn ich nun durch Einsetzen gezeigt habe, dass diese auf allen liegen, liegen sie auf allen, das ist klar. Aber: Angenommen, ich hätte andere spezielle Werte für den Parameter gewählt, würde ich vielleicht nur einen Punkt rausbekommen. Aber ich soll ja zweigen, dass es GENAU zwei Werte gibt, die auf allen Graphen liegen. Daher erscheint mir die Argumentation nicht ganz schlüssig. Oder wo liegt der Denkfehler?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es genau zwei Punkte gibt, die auf allen Graphen der Schar liegen, dann liegen diese auch auf zwei speziellen Graphen, zum Beispiel auf und auf , egal, welche zwei du spezialisierst. Es könnte höchstens passieren, daß du weitere Schnittpunkte der beiden Graphen erhältst, die nicht auf allen Graphen liegen. Genau darum mußt du mit allen gefundenen Schnittpunkten die allgemeine Probe machen.

Wenn alle Menschen einer Gruppe blonde Haare haben, dann haben auch zwei beliebig herausgegriffene blonde Haare. (Hätten bei diesem Paar nicht beide blonde Haare, so könnten auch in der gesamten Gruppe nicht alle blonde Haare haben.)
mathefan007 Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt also nichts anderes, dass es an der Voraussetzung liegt, dass eben gezeigt werden soll, dass es genau zwei gibt?! Also davon ausgeht, es gibt zwei?
Würde man quasi blind nach den gemeinsamen Punkten suchen oder überprüfen ob es genau zwei gibt, würde das nicht reichen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst auch blind nach den Schnittpunkten suchen. Nehmen wir an, du schneidest zwei Graphen und findest fünf Schnittpunkte. Dann sind das deine Kandidaten. Jetzt machst du die Probe an der gesamten Schar, und bei diesem Casting fallen dann zwei durch. Dann hat die gesamte Schar drei gemeinsame Punkte. Ehrlich gesagt verstehe ich dein Problem nicht so recht … verwirrt
mathefan007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke nochmal drüber nach Augenzwinkern
Danke für die Hilfen!
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