Vektorraum Nachweis

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10.11.2019, 19:25	Archy213	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum Nachweis Hi, wir befinden uns im Einstieg der Linearen Algebra und haben nun folgende Aufgabe bekommen, mit der ich leider nichts anfangen kann. Ich hoffe mir kann jemand helfen Wie kann ich hier was nachweisen, wenn ich keine konkreten Zahlen oder Polynome habe? Soll ich mir einfach ein Polynom ausdenken? Aber wie weise ich dann nach, dass es für jedes k gilt? Weisen Sie nach, dass die Menge Rk [x] für jedes fest vorgegebene nichtnegative k einen reellen Vektorraum bildet. Sie dürfen voraussetzen, dass die Skalare (hier: die reellen Zahlen) die Körperaxiome erfüllen. Listen Sie alle sonst noch zum Nachweis eines Vektorraumes benötigten Gesetze auf und weisen Sie für fünf beliebige Gesetze auf dieser Liste deren Gültigkeit im Rk [x] explizit nach. Dafür dürfen Sie sich nicht auf ein Beispiel verlassen, sondern Sie müssen sicherstellen, dass Ihre Argumentation für beliebige Polynome aus Rk [x] funktioniert.
10.11.2019, 19:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst dir nicht ein Polynom ausdenken. Du sollst eine beliebige aber feste natürliche Zahl $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ wählen und alle Polynome $\begin{eqnarray} f(x)=\sum_{n=0}^k a_nx^n \end{eqnarray}$ mit reellen Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ mit Grad von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ höchstens $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ betrachten. Für diese Menge sollst du alle oder mindestens 5 Vektorraumaxiome beweisen. Damit wäre dann bewiesen, dass die reellen Polynome vom Grad kleiner oder gleich $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ einen reellen Vektorraum bilden. Damit das geht, muss man solche Polynome addieren und mit reellen Zahlen skalar multiplizieren können, und die Summe zweier Polynome und das sklalare Produkt muss wieder ein solches Polynom sein. Das musst du erst einmal beweisen und dann suchst du dir 5 Axiome aus und beweist diese. Schlauer wäre es, alle Vektorraumaxiome zu beweisen, denn dann lernst du mehr, und Mathematiker sollten keine halben Sachen machen sondern immer Nägel mit Köpfen.
11.11.2019, 20:55	Archy213	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort! Also wähle ich für k eine beliebige Zahl. Nehmen wir 3. Dann habe ich ein Polynom dritten grades richtig? In der Form $\begin{eqnarray} a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0} \end{eqnarray}$ dazu schreibe ich noch, dass Es seien $\begin{eqnarray} a_{3}, a_{2},a_{1},a_{0} \in Rk[x] \end{eqnarray}$ Außerdem gilt $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Nun liste ich alle Körperaxiome auf: 1. Gesetz der Abgeschlossenheit 2. Assoziativgesetz 3. Kommutativgesetz 4. Existenz eines neutralen Elements 5. Existenz eines inversen Elements 6. Skalares Distributivgesetz 7. Vektorielles Distributivgesetz 8. Assoziativgesetz für Skalare 9. Neutrales Element der skalaren Multiplikation Jetzt nehme ich, nur um das Verständnis zu prüfen, das Assoziativgesetz und weise es nach. Kann ich es dann einfach so nachweisen: $\begin{eqnarray} (a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1})+a_{0}x^{0} = a_{3}x^{3}+(a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}) \end{eqnarray}$ Würde das so genügen?
11.11.2019, 21:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das Assoziativgesetz muss für je 3 Polynome gelten. (f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)). Die Polynome vom Grad k sind die Vektoren, nicht Bruchstücke von Polynomen. Und es genügt nicht, diese Formel aufzuschreiben, man muss sie beweisen. Du darfst auch nicht k=3 wählen, du musst k "beliebig" wählen, k bleibt während des gesamten Beweises fest.
11.11.2019, 22:47	Archy213	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay. Da hat grade was klick gemacht. Danke! Dann müsste es ungefähr so aussehen für das Assoziativgesetz seien $\begin{eqnarray} f(x) = \sum\limits_{n=0}^{k} f_{n} x^{n},g(x) = \sum\limits_{n=0}^{k} g_{n} x^{n}, h(x) = \sum\limits_{n=0}^{h} f_{n} x^{n} \in RK[x]<br /> \end{eqnarray}$ Dann gilt $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{n=0}^{k} f_{n} x^{n}+\sum\limits_{n=0}^{k} g_{n} x^{n})+\sum\limits_{n=0}^{h} f_{n} x^{n} <br /> =\sum\limits_{n=0}^{k} (f_{n} + g_{n}) x^{n} + \sum\limits_{n=0}^{h} f_{n} x^{n}<br /> = \sum\limits_{n=0}^{k} ((f_{n} + g_{n}) + h_{n}) x^{n}<br /> =\sum\limits_{n=0}^{k} (f_{n} + ((g_{n} + h_{n}) x^{n} \end{eqnarray}$ Geht das so?
12.11.2019, 07:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nur der Anfang eines Beweises für das Assoziativgesetz. Es fehlen noch einige Schritte, und bei h(x) sollten die Koeffizienten nicht f_n heißen. Das Prinzip scheinst du verstanden zu haben, also kannst du mit der Arbeit anfangen. Der Grad von h(x) ist k und nicht h. Die letzte Klammersetzung ist auch falsch. Hier mal ein Beispiel für eine Musterlösung. Zu zeigen: $\begin{eqnarray} \forall f\in \mathbb R_k[x]:1\cdot f=f \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} 1\cdot f=1\cdot f(x)=1\cdot \sum_{n=0}^ka_nx^n=\sum_{n=0}^k1\cdot (a_nx^n)=\sum_{n=0}^k(1\cdot a_n)x^n=\sum_{n=0}^k a_nx^n=f(x)=f \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} \forall a_n\in\mathbb R:1\cdot a_n=a_n \end{eqnarray}$
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13.11.2019, 21:36	Archy213	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Korrekturen. Und danke für deine Musterlösung! Das wäre ein Beispiel für das neutrale Element der skalaren Multiplikation, richtig? Ich versuche nochmal eine korrekte Musterlösung für das Assoziativgesetz zu machen. zu zeigen: $\begin{eqnarray} \forall f,g,h \in \mathbb R_{k}[x] : (f+g)+h = f+(g+h) \end{eqnarray}$ und seien $\begin{eqnarray} f = \sum\limits_{n=0}^{k} f_{n}x^{n}, g =\sum\limits_{n=0}^{k} g_{n}x^{n},h= \sum\limits_{n=0}^{k} h_{n}x^{n} \in \mathbb R_{k}[x] \end{eqnarray}$ Dann gilt $\begin{eqnarray} (f+g)+h = (f(x)+g(x))+h(x) = (\sum\limits_{n=0}^{k} f_{n}x^{n} + \sum\limits_{n=0}^{k} g_{n}x^{n}) + \sum\limits_{n=0}^{k} h_{n}x^{n}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum\limits_{n=0}^{k} (f_{n}+g_{n})x^{n}+\sum\limits_{n=0}^{k} h_{n}x^{n} = \sum\limits_{n=0}^{k} ((f_{n}+g_{n})+h_{n})x^{n}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum\limits_{n=0}^{k} (f_{n}+(g_{n}+h_{n}))x^{n} = \sum\limits_{n=0}^{k} f_{n}x^{n}+\sum\limits_{n=0}^{k} (g_{n}+h_{n})x^{n}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum\limits_{n=0}^{k} f_{n}x^{n} + (\sum\limits_{n=0}^{k} g_{n}x^{n} + \sum\limits_{n=0}^{k} h_{n}x^{n}) = f(x)+(g(x)+h(x)) = f+(g+h)<br /> \end{eqnarray}$ weil $\begin{eqnarray} \forall f_{n},g_{n},h_{n} \in \mathbb R : (f_{n}+g_{n})+h_{n} = f_{n}+(g_{n}+h_{n})<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \end{eqnarray}$
13.11.2019, 22:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist es perfekt. Meine Musterloesung ist das Vektorraumaxiom 1*f=f für alle f. Von neutralem Element der skalaren Multiplikation habe ich noch nie gehört. Die 1 ist das Einselement des Körpers, f ist ein beliebiges Element des Vektorraums.
13.11.2019, 22:29	Archy213	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Dann werde ich die Tage mal die anderen Vektorraumaxiome machen. Falls fragen aufkommen sollten, meld ich mich einfach nochmal. Danke nochmal, hast mir sehr geholfen!

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