Divergenz Folgen und Reihen

10.11.2019, 19:33

Max11235811

Divergenz Folgen und Reihen

Meine Frage:
Leider haben wir in der Vorlsesung oder den Übungen so etwas in der Art nicht gemacht. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen Denkanstoß geben könnte. Wie das folgende Problem zu lösen ist:
geg.: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1 }^{{\infty}}a_{n} \end{eqnarray*}$ ist divergent
$\begin{eqnarray*} s_{n} = a_{1}+a_{2}+...a_{n} \end{eqnarray*}$ ist Partialsumme
Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \frac{a_{N+1}}{s_{N+1}}+...+ \frac{a_{N+k}}{s_{N+k}} >= 1 - \frac{s_{N}}{s_{N+k}} \forall N.k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ außerdem soll ich daraus herleiten, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1 }^{\infty}\frac{a_{n}}{s_{n}} \end{eqnarray*}$ divergiert

Meine Ideen:
In Summenzeichen verpacken und dann umformen und/oder geschickt abschätzen. Habe auch probiert hinten rum zu zeigen, bin mir aber sehr unsicher, was man machen darf, da wir wie gesagt so etwas in der Art noch nicht gemacht haben.
Wäre sehr dankbar für Hinweise!

10.11.2019, 19:36

MaPalui

Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll das?

10.11.2019, 19:40

Max11235811

Auf diesen Beitrag antworten »

Bezüglich der Frage, oder weil ich es zum zweiten mal poste. Falls letzteres, dann weil ich nicht registriert war und die Frage nicht editieren konnte und mir jetzt einen Acc angelegt habe.

10.11.2019, 20:03

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne jetzt groß gerechnet zu haben würde ich spontan sagen, dass die zu zeigende Ungleichung falsch ist, sofern man nicht weitere Voraussetzungen an die Reihe hat:

Z.B. die, dass alle Reihenglieder $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ positiv sind...

10.11.2019, 20:10

Max11235811

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh stimmt, dass ist auch gegeben ...

10.11.2019, 20:18

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich mir gedacht... in dem Fall ist die Folge $\begin{eqnarray*} (s_n) \end{eqnarray*}$ der Partialsummen eine positive, streng monoton wachsende Folge - das allein ist schon weit mehr als die halbe Miete zum Beweis der Ungleichung. Die Divergenz der Ausgangsreihe wird hier übrigens noch gar nicht benötigt.

Zum zweiten Teil: Diese Ungleichung hilft zu zeigen, dass die Partialsummenfolge $\begin{eqnarray*} S_N := \sum_{n=1}^N \frac{a_n}{s_n} \end{eqnarray*}$ der zweiten Reihe KEINE Cauchyfolge ist, und damit die Reihe auch nicht konvergiert. Hier allerdings geht die Divergenz der Ausgangsreihe sehr wohl ein.

10.11.2019, 21:34

Max11235811

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also kann man das wie folgt machen? Über eine kurze Rückmeldung würde ich mich sehr freuen:
$\begin{eqnarray*} s_{n+k} * (\frac{a_{n+1}}{s_{n+1}} +...+\frac{a_{n+k}}{s_{n+k}} )>=s_{n+k}-s_{n} = a_{n+1}+...+a_{n+k} \end{eqnarray*}$ und da a>0 ist s monoton steigend, was impliziert, dass $\begin{eqnarray*} s_{n+k} >= s_{n+1 } \end{eqnarray*}$ weshalb die linke Seite größer gleich die rechte ist, womit die Ungleichung gezeigt ist.
Eigentlich hatten wir Monotonie noch nicht in der Vorlesung, deswegen wundert es mich sehr, dass so ne Aufgaben rankommen, aber naja.
Und zum nächsten:
Wir wählen $\begin{eqnarray*} epsilon = 1 - \frac{s_{m}}{s_{m+k}} \end{eqnarray*}$ und sagen $\begin{eqnarray*} m>N \end{eqnarray*}$ , woraus natürlich auch folgt, dass k+m>N für alle k in natürlichen Zahlen,
und dann sehen wir, dass es keine Cauchyfolge ist:
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{m \to \infty} |\sum\limits_{n=1}^{k+m} \frac{a_{n}}{s_{n}} - \sum\limits_{n=1}^{m} \frac{a_{n}}{s_{n}}| = \lim_{m \to \infty} |\sum\limits_{n=m+1}^{k+m} \frac{a_{n}}{s_{n}}| = \lim_{m \to \infty} |\frac{a_{m+1}}{s_{n+1}} +...+\frac{a_{m+k}}{s_mn+k}| > 1 - \frac{s_{m}}{s_{m+k}} = epsilon \end{eqnarray*}$
Ist das so korrekt? Bin mir wie gesagt ziemlich unsicher.
Vielen Dank auf jeden Fall für deine Hilfe!

10.11.2019, 22:20

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Max11235811
$\begin{eqnarray*} s_{n+k} * (\frac{a_{n+1}}{s_{n+1}} +...+\frac{a_{n+k}}{s_{n+k}} )>=s_{n+k}-s_{n} = a_{n+1}+...+a_{n+k} \end{eqnarray*}$ und da a>0 ist s monoton steigend, was impliziert, dass $\begin{eqnarray*} s_{n+k} >= s_{n+1 } \end{eqnarray*}$ weshalb die linke Seite größer gleich die rechte ist, womit die Ungleichung gezeigt ist.

Nimm es mir nicht übel, aber deine Reihenfolge der Argumentation (etwa auch die Reihung der Terme in der Gleichungs/Ungleichunsgkette) ist schon etwas wild. Ich hätte es eher ungefähr so dargestellt: Aus $\begin{eqnarray*} s_{n+j}\leq s_{n+k} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} j=1,\ldots,k \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{s_{n+1}} + \ldots +\frac{a_{n+k}}{s_{n+k}} \geq \frac{a_{n+1} + \ldots a_{n+k}}{s_{n+k}} = \frac{s_{n+k}-s_n}{s_{n+k}} = 1- \frac{s_n}{s_{n+k}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Max11235811
Eigentlich hatten wir Monotonie noch nicht in der Vorlesung, deswegen wundert es mich sehr, dass so ne Aufgaben rankommen, aber naja.

Lass mal die Kirche im Dorf: Das ist Schulstoff.

Was Cauchy betrifft, hatte ich es auch eher so gemeint, dass man für ein festes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ - ich hatte da konkret an $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gedacht - nachweist, dass es KEIN $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \left|S_m-S_n\right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m>n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gibt. Das geht einfach dadurch, dass wir wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} s_k=\infty \end{eqnarray*}$ ja zu JEDEM $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} m>n \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} s_m > 2s_n \end{eqnarray*}$ , folglich gilt wegen a)

$\begin{eqnarray*} S_m-S_n = \sum_{j=1}^{m-n} \frac{a_{n+j}}{s_{n+j}} = 1-\frac{s_n}{s_m} > 1-\frac{1}{2} = \varepsilon \end{eqnarray*}$ ,

Widerspruch zur Cauchyfolgen-Eigenschaft.

11.11.2019, 00:58

Max11235811

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für Deine Hilfe! Hat mir sehr geholfen, einmal zu sehen, wie man das richtig ordentlich macht.
Und bezüglich Monotonie und Schulstoff: Ich bin in Berlin zur Schule gegangen 😅

Neue Frage »

Antworten »

Divergenz Folgen und Reihen

Verwandte Themen