Hyperebenen

Neue Frage »

10.11.2019, 20:16	SophieMathematik	Auf diesen Beitrag antworten »
Hyperebenen Meine Frage: Ich komme mit dieser Aufgabe leider überhaupt nicht zurecht. Also es sei $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ein UVR von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} dim (V) = n \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass es $\begin{eqnarray} d:= n - dim(U) \end{eqnarray}$ Hyperebenen $\begin{eqnarray} H_{1}, ... , H_{d} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} U = H_{1} \cap ... \cap H_{d} \end{eqnarray}$ . Kann mir bitte jemand helfen? Meine Ideen: Man wird wohl die Dimensionsformel zur Anwendung bringen müssen,aber ich komme nicht drauf, wie man das macht
10.11.2019, 20:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei $\begin{align} v_{d+1},v_{d+2}, \ldots, v_n \end{align}$ eine Basis von $\begin{align} U \end{align}$ , die durch $\begin{align} v_1,v_2,\ldots,v_d \end{align}$ zu einer Basis von $\begin{align} V \end{align}$ ergänzt wird: $\begin{align} v_1,v_2,\ldots,v_d,\underbrace{v_{d+1},v_{d+2},\ldots,v_n}_{\text{Basis von} \ U} \end{align}$ Für eine Hyperebene brauchst du $\begin{align} n-1 \end{align}$ Basisvektoren. Ein Ansatz, die Hyperebene $\begin{align} H_i, \, 1 \leq i \leq d \end{align}$ , mit Hilfe der obigen Basis zu definieren, liegt nahe.
10.11.2019, 21:44	SophieMathematik	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah! Danke, ich glaube, jetzt hab ich's ! Damit $\begin{eqnarray} H_{1}\cap...\cap H_{d} = U \end{eqnarray}$ muss jede dieser Hyperebenen die Basisvektoren $\begin{eqnarray} v_{d+1}, ... , v_{n} \end{eqnarray}$ enthalten. Da es sich um Hyperebenen handelt, müssen wir jetzt noch jeder $\begin{eqnarray} H_{i} \end{eqnarray}$ ingesamt $\begin{eqnarray} d-1 \end{eqnarray}$ Basisvektoren hinzufügen. Damit unsere $\begin{eqnarray} H_{i} \end{eqnarray}$ voneinander verschieden sind, gehen wir dabei so vor: $\begin{eqnarray} H_{1} \end{eqnarray}$ erhält $\begin{eqnarray} v_{2}, ... , v_{d} \end{eqnarray}$ (also alle bis auf $\begin{eqnarray} v_{1} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} H_{2} \end{eqnarray}$ erhält $\begin{eqnarray} v_{1}, v_{3},...., v_{d} \end{eqnarray}$ (alle bis auf $\begin{eqnarray} v_{2} \end{eqnarray}$ ) ... $\begin{eqnarray} H_{d} \end{eqnarray}$ erhält $\begin{eqnarray} v_{1}, ...., v_{d-1} \end{eqnarray}$ Somit gibt es ingesamt $\begin{eqnarray} n - dim(U)= d \end{eqnarray}$ dieser Hyperebenen. Was meinst du so? Ist wahrscheinlich nicht ganz so formalisiert, wie es sein sollte, aber ist es im Grunde richtig?
10.11.2019, 21:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist ordentlich formalisiert, nur etwas unbeholfen formuliert. $\begin{align} H_i \end{align}$ "enthält" nicht irgendwelche Basisvektoren, sondern wird "von ihnen erzeugt". Man kann es natürlich immer noch kürzer aufschreiben, zum Beispiel so: Für $\begin{align} 1 \leq i \leq d \end{align}$ sei $\begin{align} B_i = \left\{ v_1,v_2,\ldots,v_n \right\} \setminus \left\{ v_i \right\} \end{align}$ und $\begin{align} H_i \end{align}$ die lineare Hülle von $\begin{align} B_i \end{align}$ (vielleicht schreibt ihr dafür $\begin{align} H_i = \langle B_i \rangle \end{align}$ oder $\begin{align} H_i = \operatorname{Span}(B_i) \end{align}$ ). Das wird dadurch aber auch nicht unbedingt verständlicher. Ich finde, dein Ansatz geht. Jetzt mußt du allerdings noch $\begin{align} \bigcap_{i=1}^d H_i = U \end{align}$ nachweisen.
10.11.2019, 22:40	SophieMathematik	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Okay, und das dann so? Es ist $\begin{eqnarray} \bigcap_{i=1} ^{d} H_{i} = L(v_{2}, ... , v_{d}, v_{d+1}, ... , v_{n}) \cap L(v_{1},v_{3}, ... , v_{d}, v_{d+1}, ... , v_{n})\cap ... \cap L(v_{1}, ..., v_{d-1}, v_{d+1}, ... , v_{d}) \end{eqnarray}$ und die einzigen Linearkombinationen, die in diesen Schnitt fallen, sind die, für die gilt $\begin{eqnarray} \lambda_{1} = ... = \lambda_{d} = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_{d+1}, ... ,\lambda_{n} \end{eqnarray}$ beliebig, d.h. $\begin{eqnarray} \bigcap_{i=1} ^{d} H_{i} = L(v_{d+1}, ... , v_{d}) = U \end{eqnarray}$
10.11.2019, 22:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so geht das.
Anzeige

10.11.2019, 23:00	SophieMathematik	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder gibt es sonst noch eine "transparentere" Darstellung oder Methode, um das zu zeigen? Auf jeden Fall schon einmal ein großes Dankeschön
10.11.2019, 23:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde das wunderhübsch transparent. Ich werde mich aber hüten zu sagen, es gehe nicht transparenter. Wer weiß, was manchen Leuten da noch so einfällt.
11.11.2019, 00:55	SophieMathematik	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, Leopold!

Neue Frage »

Antworten »

Hyperebenen

Verwandte Themen