Topologische Äquivalenzen

11.11.2019, 00:25	KoenigVonAugsburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Topologische Äquivalenzen $\begin{eqnarray} \begin{array}{l}{ \text { Es seien } p, \ell \in[1, \infty] \text { . Zeige, dass jede offene Kugel in }\left(\mathbb{R}^{n},\\|\cdot\\|_{\ell}\right) \text { eine offene Menge }} \\ {\text { in }\left(\mathbb{R}^{n},\\|\cdot\\|_{p}\right) \text { ist. Zeige also: Für alle Punkte } a \in \mathbb{R}^{n} \text { und alle Radien } r>0 \text { ist die }} \\ {\text { Menge }\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \|\\|x-a\\|_{\ell}<r\right\} \text { offen in }\left(\mathbb{R}^{n},\\|\cdot\\|_{p}\right)}\end{array} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text { Für alle } p \in[1, \infty) \text { und } x \in \mathbb{R}^{n} \text { gilt }\\|x\\|_{\infty} \leq n^{1 / p}\\|x\\|_{\infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text { Für alle } x \in \mathbb{R}^{n} \text { gilt } \lim _{p \rightarrow \infty}\\|x\\|_{p}=\\|x\\|_{\infty} \end{eqnarray}$ bloß weis ich nicht wie offene Kugel in $\begin{eqnarray} (\mathbb R^n, \|\|\cdot\|\|_p) \end{eqnarray}$ ist eine offene Menge in $\begin{eqnarray} (\mathbb R^n, \|\|\cdot\|\|_p) \end{eqnarray}$ "? Vielleich kann mir einer den Gedanken dieser Aufgabe verdeutlichen. Danke. KvA

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