Endomorphismus

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Tashina Auf diesen Beitrag antworten »
Endomorphismus
Meine Frage:
Hallo! Ich habe leider so einige Schwierigkeiten mit der folgenden Aufgabe

Sei ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und sei ein Endomorphismus, so dass gilt. Zeigen Sie:


und




Meine Ideen:
Leider überhaupt keine, ich kenne zwar die ganzen Definitionen, aber ich weiß nicht, wie was in Verbindung zu setzen ist. Muss ich hier mit der Matrizendarstellung der linearen Abbildung operieren?

Wäre sehr, sehr dankbar für Hilfe; ich kriegs einfach nicht hin
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RE: Endomorphismus
Aus folgert man und damit die Gleichheit der beiden Kerne. Dann nimmt man sich ein Element aus dem Durchschnitt von Kern und Bild von f und zeigt, dass es der Nullvektor ist. Der Rest ist dann Dimensionsformel für die Summe von Unterräumen.
Tashina Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus
Vielen Dank! Nur: Mithilfe welcher Formel folgert man, dass ? Ich durchkämme schon seit Stunden die Bücher, aber werde nicht fündig. Wir wissen also, dass . Ich sehe einfach nicht, wie daraus folgt verwirrt


Was fehlt mir?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ein solcher Endomorphismus heißt Projektion, und dafür soll bewiesen werden, dass V die direkte Summe von Kern und Bild ist. Das gilt nicht für jeden Endomorphismus, deshalb musst du nach den richtigen Stichworten suchen oder den Beweis selbst führen. Für Automorphismen gilt das natürlich auch.
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RE: Endomorphismus
Das liefert der Rangsatz
Tashina Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus
Danke! Dann gehts jetzt los! Es ist und , und somit gilt laut Rangsatz


und




Da nun laut Voraussetzung , ist auch

, woraus folgt, dass





Ist das halbwegs richtig? (und: Wie kriege ich eigentlich das Verknüpfungszeichen in Latex hin?)
 
 
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RE: Endomorphismus
Ich hätte die zweite Gleichung von der ersten subtrahiert, aber so kann man das schon auch machen.
\circ liefert
Tashina Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus
Danke! Damit wäre dann der erste Schritt geschafft. Nun zum zweiten ... hm ... kannst du mir einen Tipp geben? Ich sehe ehrlich gesagt nicht so ganz, wie und zusammenhängen, also wie wir Letzteres aus Ersterem folgern können ...

Bekannt ist auf jeden Fall:

Lineare Abbildung bilden den Nullvektor auf den Nullvektor ab, d.h. und , bzw. . Zu zeigen bleibt, dass es keine weiteren gemeinsamen Elemente gibt. Das tun wir mittels der Gleichung, die wir im ersten Schritt bewiesen haben?
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RE: Endomorphismus
Nicht gierig werden sondern dem Fahrplan folgen smile
Gleichheit der beiden Kerne zeigen (bisher sind nur die Dimensionen gleich). Begründe zuerst, dass immer gilt.
Dann nimmt man sich ein Element aus dem Durchschnitt von Kern und Bild von f und zeigt, dass es der Nullvektor ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ein solcher Endomorphismus heißt Projektion, und dafür soll bewiesen werden, dass V die direkte Summe von Kern und Bild ist. Das gilt nicht für jeden Endomorphismus, deshalb musst du nach den richtigen Stichworten suchen oder den Beweis selbst führen. Für Automorphismen gilt das natürlich auch.


Nein, Elvis, das war nichts. ist weder eine Bijektion noch eine Projektion. si tacuisses, philosophus mansisses unglücklich

Entschuldigung, ich bin schon wieder weg.
(gez. Elvis)
Tashina Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus
Okay, danke, also Beweis für

Sei . Dann ist . Somit gilt auch .



Jetzt für

Sei . Dann gilt wegen nun und somit .

So in etwa?
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RE: Endomorphismus
Ich habe das Gefühl, du schreibst Gleichungen hin, ohne zu wissen, ob oder warum sie gelten.
Warum gilt in das erste Gleichheitszeichen? Warum das zweite?

Ganz ähnlich bei der zweiten Inklusion: Warum folgt aus der Gleichheit der Dimensionen plötzlich ?
Tashina Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus
Okay, also mein Gedanke war:

Es ist , da ist, also da f eine Funktion von V nach V ist.
Es gilt , da laut Voraussetzung .

So ergibt sich .


Aber jetzt fällt mir auf, dass das Blödsinn ist: Sollte tatsächlich sein, dann wäre ja trivialerweise wahr, d.h. dann müsste man es nicht wie in der Aufgabe geschehen zusätzlich voraussetzen, oder?

Aber andererseits: Wie kann , sein, wenn doch ? Ich bin hoffnungslos verwirrt unglücklich
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RE: Endomorphismus
Na also, dämmert doch Freude
Wenn für alle v gilt, dann hat man es mit einer Projektion zu tun wie Elvis schrieb und dann ist in der Tat automatisch erfüllt. Das hast du ganz richtig erkannt.
In dieser Aufgabe haben wir aber nur die schwächere Voraussetzung . Und aus der folgt eben nicht, dass ist. Ein Beispiel hat Elvis auch gleich geliefert. Die Matrix definiert eine lineare Abbildung mit . Also ist .
Also aber

Bleibt die Frage, warum aus immer folgt
Tashina Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus
Danke URL und danke Elvis! Okay, dann also so:


Sei mit , also . Dann ist , da eine lineare Abbildung ist und als solche den Nullvektor stets auf den Nullvektor abbildet. Daraus folgt, dass .


Dmait wäre gezeigt, dass . Mit dem Beweis für habe ich allerdings ein paar Probleme; also ich habe:


Sei . Dann ist . Und jetzt nutzt man vermutlich aus, dass , aber ich weiß ehrlich gesagt nicht so recht, wie man das eine mit dem anderen in Verbindung setzt ...
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RE: Endomorphismus
Du hast nicht umsonst gezeigt, dass ...
Tashina Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus
Ach ja, das hatte ich schon ganz vergessen, sorry! Hm ... Das schreit dann wohl nach der Verwendung einer Dimensionsformel, oder?
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RE: Endomorphismus
Welche meinst du? verwirrt
Tashina Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus
Vergiss das, sorry, habe leidee keine Ahnung, kannst du mir bitte einen Hinweis geben?
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RE: Endomorphismus
Du hast einen Vektorraum W und davon einen Unterraum T und dim(T)=dim(W). Was folgt daraus für T und W?
Tashina Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus
Ach so! Danke! Wir können hier den Satz anwenden "Ist ein Untervektorraum von und , dann ist ",

da Kern(f) und Kern(f o f) Vektorräume sind, verstehe.


Das heißt, wir wissen jetzt: .

Aber so ganz weiß ich nicht, was uns das jetzt bringt...
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RE: Endomorphismus
Ich habe dir ganz am Anfang einen Fahrplan gegeben - benutze ihn doch endlich mal, statt dir von mir jeden kleinen Schritt vorkauen zu lassen
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