Endomorphismus |
11.11.2019, 00:53 | Tashina | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Endomorphismus Hallo! Ich habe leider so einige Schwierigkeiten mit der folgenden Aufgabe Sei ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und sei ein Endomorphismus, so dass gilt. Zeigen Sie: und Meine Ideen: Leider überhaupt keine, ich kenne zwar die ganzen Definitionen, aber ich weiß nicht, wie was in Verbindung zu setzen ist. Muss ich hier mit der Matrizendarstellung der linearen Abbildung operieren? Wäre sehr, sehr dankbar für Hilfe; ich kriegs einfach nicht hin |
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11.11.2019, 01:13 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Aus folgert man und damit die Gleichheit der beiden Kerne. Dann nimmt man sich ein Element aus dem Durchschnitt von Kern und Bild von f und zeigt, dass es der Nullvektor ist. Der Rest ist dann Dimensionsformel für die Summe von Unterräumen. |
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11.11.2019, 01:37 | Tashina | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Vielen Dank! Nur: Mithilfe welcher Formel folgert man, dass ? Ich durchkämme schon seit Stunden die Bücher, aber werde nicht fündig. Wir wissen also, dass . Ich sehe einfach nicht, wie daraus folgt Was fehlt mir? |
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11.11.2019, 07:15 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein solcher Endomorphismus heißt Projektion, und dafür soll bewiesen werden, dass V die direkte Summe von Kern und Bild ist. Das gilt nicht für jeden Endomorphismus, deshalb musst du nach den richtigen Stichworten suchen oder den Beweis selbst führen. Für Automorphismen gilt das natürlich auch. |
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11.11.2019, 08:41 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Das liefert der Rangsatz |
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11.11.2019, 15:03 | Tashina | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Danke! Dann gehts jetzt los! Es ist und , und somit gilt laut Rangsatz und Da nun laut Voraussetzung , ist auch , woraus folgt, dass Ist das halbwegs richtig? (und: Wie kriege ich eigentlich das Verknüpfungszeichen in Latex hin?) |
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11.11.2019, 16:39 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Ich hätte die zweite Gleichung von der ersten subtrahiert, aber so kann man das schon auch machen. \circ liefert |
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11.11.2019, 17:28 | Tashina | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Danke! Damit wäre dann der erste Schritt geschafft. Nun zum zweiten ... hm ... kannst du mir einen Tipp geben? Ich sehe ehrlich gesagt nicht so ganz, wie und zusammenhängen, also wie wir Letzteres aus Ersterem folgern können ... Bekannt ist auf jeden Fall: Lineare Abbildung bilden den Nullvektor auf den Nullvektor ab, d.h. und , bzw. . Zu zeigen bleibt, dass es keine weiteren gemeinsamen Elemente gibt. Das tun wir mittels der Gleichung, die wir im ersten Schritt bewiesen haben? |
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11.11.2019, 17:35 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Nicht gierig werden sondern dem Fahrplan folgen Gleichheit der beiden Kerne zeigen (bisher sind nur die Dimensionen gleich). Begründe zuerst, dass immer gilt. Dann nimmt man sich ein Element aus dem Durchschnitt von Kern und Bild von f und zeigt, dass es der Nullvektor ist. |
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11.11.2019, 18:02 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, Elvis, das war nichts. ist weder eine Bijektion noch eine Projektion. si tacuisses, philosophus mansisses Entschuldigung, ich bin schon wieder weg. (gez. Elvis) |
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11.11.2019, 19:24 | Tashina | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Okay, danke, also Beweis für Sei . Dann ist . Somit gilt auch . Jetzt für Sei . Dann gilt wegen nun und somit . So in etwa? |
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11.11.2019, 21:44 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Ich habe das Gefühl, du schreibst Gleichungen hin, ohne zu wissen, ob oder warum sie gelten. Warum gilt in das erste Gleichheitszeichen? Warum das zweite? Ganz ähnlich bei der zweiten Inklusion: Warum folgt aus der Gleichheit der Dimensionen plötzlich ? |
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11.11.2019, 23:40 | Tashina | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Okay, also mein Gedanke war: Es ist , da ist, also da f eine Funktion von V nach V ist. Es gilt , da laut Voraussetzung . So ergibt sich . Aber jetzt fällt mir auf, dass das Blödsinn ist: Sollte tatsächlich sein, dann wäre ja trivialerweise wahr, d.h. dann müsste man es nicht wie in der Aufgabe geschehen zusätzlich voraussetzen, oder? Aber andererseits: Wie kann , sein, wenn doch ? Ich bin hoffnungslos verwirrt |
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12.11.2019, 08:57 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Na also, dämmert doch Wenn für alle v gilt, dann hat man es mit einer Projektion zu tun wie Elvis schrieb und dann ist in der Tat automatisch erfüllt. Das hast du ganz richtig erkannt. In dieser Aufgabe haben wir aber nur die schwächere Voraussetzung . Und aus der folgt eben nicht, dass ist. Ein Beispiel hat Elvis auch gleich geliefert. Die Matrix definiert eine lineare Abbildung mit . Also ist . Also aber Bleibt die Frage, warum aus immer folgt |
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12.11.2019, 16:02 | Tashina | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Danke URL und danke Elvis! Okay, dann also so: Sei mit , also . Dann ist , da eine lineare Abbildung ist und als solche den Nullvektor stets auf den Nullvektor abbildet. Daraus folgt, dass . Dmait wäre gezeigt, dass . Mit dem Beweis für habe ich allerdings ein paar Probleme; also ich habe: Sei . Dann ist . Und jetzt nutzt man vermutlich aus, dass , aber ich weiß ehrlich gesagt nicht so recht, wie man das eine mit dem anderen in Verbindung setzt ... |
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12.11.2019, 16:19 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Du hast nicht umsonst gezeigt, dass ... |
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12.11.2019, 16:40 | Tashina | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Ach ja, das hatte ich schon ganz vergessen, sorry! Hm ... Das schreit dann wohl nach der Verwendung einer Dimensionsformel, oder? |
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12.11.2019, 17:33 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Welche meinst du? |
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12.11.2019, 18:08 | Tashina | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Vergiss das, sorry, habe leidee keine Ahnung, kannst du mir bitte einen Hinweis geben? |
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12.11.2019, 21:49 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Du hast einen Vektorraum W und davon einen Unterraum T und dim(T)=dim(W). Was folgt daraus für T und W? |
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12.11.2019, 23:04 | Tashina | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Ach so! Danke! Wir können hier den Satz anwenden "Ist ein Untervektorraum von und , dann ist ", da Kern(f) und Kern(f o f) Vektorräume sind, verstehe. Das heißt, wir wissen jetzt: . Aber so ganz weiß ich nicht, was uns das jetzt bringt... |
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13.11.2019, 12:17 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Endomorphismus Ich habe dir ganz am Anfang einen Fahrplan gegeben - benutze ihn doch endlich mal, statt dir von mir jeden kleinen Schritt vorkauen zu lassen |
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