Integration durch Substitution

11.11.2019, 08:13

Mathman91

Integration durch Substitution

Hallo,

ich habe eine Frage zu folgendem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{5}{(4-3x)^2}\, dx \end{eqnarray*}$

Ich habe das folgendermaßen gelöst:

Integration durch Substitution:

$\begin{eqnarray*} u=4-3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_\! \frac{5}{u^{2}}*\frac{du}{3}\, = \int_\! \frac{5}{u^{2}}*\frac{1}{3}\,du \end{eqnarray*}$

Meine Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{3*(4-3x)^2}+C \end{eqnarray*}$

Zur überprüfung habe ich das Beispiel mal in einen online Rechner eingegeben, dort kommt das Ergebnis ohne "3*" im Nenner raus?

Wo liegt mein Fehler?

VG

11.11.2019, 08:20

klarsoweit

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RE: Integrieren mit Integration durch Substitution

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} u=4-3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'=3 \end{eqnarray*}$

Hier hast du schon mal ein Minus verschlampert.

Zitat:

Original von Mathman91
Meine Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{3*(4-3x)^2}+C \end{eqnarray*}$

Und das kann am Ende auch nicht stimmen, was du auch leicht prüfen kannst, wenn du dein Ergebnis mal ableitest. smile

11.11.2019, 13:40

Mathman91

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Ja, stimmt.

Aber da passt noch immer was nicht.

Ich komme nicht dahinter, wo ich den Fehler gemacht habe.

SG

11.11.2019, 14:08

klarsoweit

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Ich würde dir ja helfen, aber nach dem Integral purzelt sofort deine Lösung raus. Wie soll ich da einen Fehler finden? verwirrt

11.11.2019, 15:46

Mathman91

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Ich habe meinen Lösungsweg aufgeschrieben, mehr habe ich nicht gemacht.

11.11.2019, 15:58

klarsoweit

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RE: Integrieren mit Integration durch Substitution

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} \int_\! \frac{5}{u^{2}}*\frac{du}{3}\, = \int_\! \frac{5}{u^{2}}*\frac{1}{3}\,du \end{eqnarray*}$

Meine Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{3*(4-3x)^2}+C \end{eqnarray*}$

Wie gesagt: hier purzelt wie aus der Luft gegriffen deine Lösung raus. Wo sehe ich, welche Stammfunktion du genommen hast? verwirrt

12.11.2019, 07:18

Mathman91

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Ich habe es jetzt nochmal neu gerechnet.

Angabe:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{5}{(4-3x)^2} \end{eqnarray*}$

Als erstes Substituiere ich:

$\begin{eqnarray*} u=4-3x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_\! \frac{5}{u^{2}}\, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int5*u^{-2}\, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int 5*u^{-2}\,*\frac{1}{-3}du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5*\frac{u^{-1}}{1}*\frac{1}{-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = -\frac{5}{3*(4-3x)}+C \end{eqnarray*}$

Stimmt die Lösung jetzt?

SG

12.11.2019, 08:25

klarsoweit

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Generell mag ich es nicht, wenn da einfach nur Terme hingeschrieben werden, ohne daß da etwas dazwischen steht (häufig ein Gleichheitszeichen). Erst dann hat man Aussagen, über deren Richtigkeit man etwas sagen kann.

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} \int_\! \frac{5}{u^{2}}\, dx \end{eqnarray*}$

Bei der Integralsubstitution sollte man die Substitution in einem Zug durchführen, da solche "gemischten" Integrale eher verwirren und formal auch nicht ganz sauber sind.

Schreibe also so: $\begin{eqnarray*} \int\! \frac{5}{(4-3x)^2}\, dx = \int_\! \frac{5}{u^{2}} \cdot \frac{1}{-3} ~du \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} \int 5*u^{-2}\,*\frac{1}{-3}du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5*\frac{u^{-1}}{1}*\frac{1}{-3} \end{eqnarray*}$

Hier machst du wieder einen deiner beliebten Vorzeichenfehler. $\begin{eqnarray*} u^{-1} \end{eqnarray*}$ ist keine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} u^{-2} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Mathman91
Stimmt die Lösung jetzt?

Nein aufgrund des Vorzeichenfehlers. Und das könntest du auch selber nachprüfen.

12.11.2019, 13:48

Mathman91

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Warum passiert mir das immer wieder. unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{u^{-1}}{-1} \end{eqnarray*}$

Somit lautet die Lösung:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{5}{3*(4-3x)}+C \end{eqnarray*}$

SG

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