Grenzwert einer Folge

11.11.2019, 20:13

Matheneuling_001

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Grenzwert einer Folge

Guten Abend,

manchmal fehlt einem die Axt im Walde um den nötigen Durchblick zu bekommen, aber eventuell kann mir jemand das fehlende Werkzeug reichen? verwirrt

verwirrt

Es geht um eine Folge, zu der der Limes berechnet werden soll. Meine Vermutung ist, dass diese irgendwie gegen den Wert 8 strebt.

Hier einmal die Folge:

$\begin{eqnarray*} b_{n}=\frac{(1+i)^n}{4^{\frac{n-3}{2}}} \end{eqnarray*}$

Auf den Nenner die Potenz und Wurzelgesetze angewendet ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} b_{n}=\frac{(1+i)^n}{4^{\frac{n-3}{2}}}=\frac{(1+i)^n}{\frac{4^{\frac{n}{2}}}{4^{\frac{3}{2} }}}=\frac{(1+i)^n}{4^{\frac{n}{2}}}\cdot 4^{\frac{3}{2}}=\frac{(1+i)^n}{(4^\frac{1}{2})^{n}}\cdot (\sqrt{4^3})=\frac{(1+i)^{n} \cdot 8}{2^n}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ihr lichtet mit der Axt dann diesen Dschungel ein wenig. Herzlichen Dank.

Euer Matheneuling_001

11.11.2019, 20:23

Helferlein

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Polarkoordinaten könnten helfen.

11.11.2019, 20:57

Matheneuling_001

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Meinst du die Umrechnung in die Eulersche Darstellung $\begin{eqnarray*} z=r\cdot e^{i\phi} \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} z=x+i\cdot y=1+i\cdot 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} z=r\cdot e^{i\phi}=\sqrt{2}\cdot e^{i\phi} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die Folge $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ folgt daraus:

$\begin{eqnarray*} b_{n}=\frac{\sqrt{2}\cdot e^{n\cdot i\phi}\cdot 8}{2^n} \end{eqnarray*}$

Aber ich vermute das ist falsch, denn mir erschließt sich noch nicht der Grenzwert.

11.11.2019, 21:29

Leopold

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Ein Tip: Gehe zum Betrag über und beachte

$\begin{align*} |z_n| \to 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ z_n \to 0 \end{align*}$

11.11.2019, 21:33

Matheneuling_001

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wieso zum Betrag der Folge $\begin{eqnarray*} z_{n} \end{eqnarray*}$ das erschließt sich mir nicht. wo kommt der betrag denn auf einmal her? aus der eulerschen Darstellung?

Ich zweifle gerade an schon an dem, was ich bisher gerechnet habe.

Edit: LaTeX korrigiert. VG Iorek

11.11.2019, 22:03

Helferlein

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Zitat:

Original von Matheneuling_001
Also $\begin{eqnarray*} z=r\cdot e^{i\phi}=\sqrt{2}\cdot e^{i\phi} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die Folge $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ folgt daraus:

$\begin{eqnarray*} b_{n}=\frac{\sqrt{2}\cdot e^{n\cdot i\phi}\cdot 8}{2^n} \end{eqnarray*}$

Tut es nicht, sondern $\begin{eqnarray*} z^n= \left(\sqrt{2}\cdot e^{i\phi}\right)^n=2^{\frac n2}e^{ni\phi} \end{eqnarray*}$

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11.11.2019, 22:09

Matheneuling_001

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Danke dir, aber wenn n nun gegen unendlich strebt, dann strebt die folge gegen unendlich und konvergiert dann nicht?!

11.11.2019, 22:20

Helferlein

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Wenn Du die Folge meinst, die Du betrachten sollst, dann stimmt die Aussage nicht.
Ich habe Dir $\begin{eqnarray*} z^n \end{eqnarray*}$ aufgeschrieben. Was das für $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ bedeutet, solltest Du durch Einsetzen selber herausfinden.

11.11.2019, 22:45

Matheneuling_001

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Also wenn ich das jetzt einsetze, dann ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} b_{n}=8\cdot2^{\frac{n}{2}-2}\cdot e^{n \cdot i \cdot \phi} \end{eqnarray*}$

Mir fehlt allerdings hier noch ein wenig Fachwissen zu den komplexen Zahlen. Woher nimmst du den Betrag von z? Kann man denn so einfach den Betrag von der eulerschen Polardarstellung nehmen? Wenn dieser dann gegen 0 konvergiert, so konvergiert b_n auch gegen null.

Aber verstanden habe ich das nicht.

11.11.2019, 23:07

Helferlein

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RE: Grenzwert einer Folge
Potenzgesetze sind doch aus der Schule bekannt und haben nichts mit komplexen Zahlen zu tun.

Du hattest hergeleitet, dass $\begin{eqnarray*} b_{n}=\frac{(1+i)^{n} \cdot 8}{2^n} \end{eqnarray*}$

Aus meinem Beitrag weißt Du, dass $\begin{eqnarray*} (1+i)^{n}=2^{\frac n2}e^{ni\phi} \end{eqnarray*}$

Zusammen ergibt das $\begin{eqnarray*} b_{n}=\frac{2^{\frac n2}e^{ni\phi}\cdot 8}{2^n} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch die Zweierpotenzen verrechnen und das Wissen einbringen, wofür $\begin{eqnarray*} e^{ni\phi} \end{eqnarray*}$ steht.

11.11.2019, 23:10

Leopold

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Zitat:

Original von Matheneuling_001
Kann man denn so einfach den Betrag von der eulerschen Polardarstellung nehmen? Wenn dieser dann gegen 0 konvergiert, so konvergiert b_n auch gegen null.

Genau das meinte ich vorhin.
Deine Rechnung stimmt nicht. Irgendwie hast du das $\begin{align*} 2^n \end{align*}$ im Nenner falsch verarbeitet.

Im Anhang eine dynamische Zeichung mit Euklid. Du kannst das Programm beim Link herunterladen. Durch Ziehen am Schieberegler bewegt sich das Folgenglied.

12.11.2019, 09:35

Matheneuling_001

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@Helferlein und Leopold: ist meine Rechnung denn jetzt überhaupt richtig bzgl. der eingangs durchgeführten umformung des nenners?

Die euler Form gibt doch an, wie häufig man die kreisbahn umrundet. Also n-mal?

12.11.2019, 11:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von Matheneuling_001
Also $\begin{eqnarray*} z=r\cdot e^{i\phi}=\sqrt{2}\cdot e^{i\phi} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die Folge $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ folgt daraus:

$\begin{eqnarray*} b_{n}=\frac{\sqrt{2}\cdot e^{n\cdot i\phi}\cdot 8}{2^n} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle hast du vergessen, daß die Wurzel(2) ebenfalls mit n zu potenzieren ist. smile

smile

12.11.2019, 15:15

Leopold

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Ich hätte es so gemacht:

$\begin{align*} \left| b_n \right| = \left| \frac{\left( 1 + \operatorname{i} \right)^n}{4^{\frac{n-3}{2}}} \right| = \frac{\left| 1 + \operatorname{i} \right|^n}{4^{\frac{n}{2}} \cdot 4^{-\frac{3}{2}}} = \frac{2^{\frac{n}{2}}}{4^{\frac{n}{2}}} \cdot 8 = 8 \cdot 2^{- \frac{n}{2}} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ n \to \infty \end{align*}$

Folgerung: $\begin{align*} b_n \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ n \to \infty \end{align*}$

12.11.2019, 15:37

Matheneuling_001

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@Leopold:das hat unser liebes Helferlein schon ausgebessert.danke schön.

Wie kommst du jetzt auf die 2^(n/2) im zähler?

12.11.2019, 15:47

Elvis

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Berechne den Betrag von 1+i
Du darfst den Satz des Pythagoras benutzen.

12.11.2019, 19:00

matheneuling_001

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Danke schön @helferlein,leopold,klarsoweit und Elvis . Gott

Gott

Jetzt verstehe ich so langsam wie man diese Aufgabe anzugehen hat. Tanzen

Tanzen

Tanzen

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