Beweis das Gleichung wahr ist mithilfe von Ableitungen?

11.11.2019, 21:26

AlisaV

Beweis das Gleichung wahr ist mithilfe von Ableitungen?

Meine Frage:
Hallo liebes Forum,

kann man zeigen, dass eine Gleichung wahr ist, indem man zeigt, dass die Ableitungen der jeweiligen Seiten gleich sind? Also das Differential als Äquivalenzumformung verwenden?

Meine Ideen:
Zum Beispiel folgendes:
(x+1)^2 = x^2+2x+1
Beide Seiten ableiten:
2*(x+1) = 2x+2
2x+2 = 2x+2

11.11.2019, 21:37

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RE: Beweis das Gleichung wahr ist mithilfe von Ableitungen?
Gute Frage. Kann man aber nicht. Mach das gleiche mit der falschen Aussage (x+1)^2 +1 = x^2+2x+1

11.11.2019, 21:39

Leopold

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RE: Beweis das Gleichung wahr ist mithilfe von Ableitungen?

Zitat:

Original von AlisaV
kann man zeigen, dass eine Gleichung wahr ist, indem man zeigt, dass die Ableitungen der jeweiligen Seiten gleich sind?

Nein, das kann man nicht. Zwar folgt aus $\begin{align*} f(x) = g(x) \end{align*}$ auch $\begin{align*} f'(x) = g'(x) \end{align*}$ (das hast du in deinem Beispiel gemacht), aber das Umgekehrte gilt nicht. Das billigste Beispiel dazu: Betrachte die konstanten Funktionen $\begin{align*} f(x) = 2019 \end{align*}$ und $\begin{align*} g(x) = 9102 \end{align*}$ . Offenbar gilt $\begin{align*} f'(x) = g'(x) \end{align*}$ , aber es wird wohl niemand damit auf $\begin{align*} 2019 = 9102 \end{align*}$ schließen wollen.

Man kann Folgendes sagen: Gilt auf einem Intervall $\begin{align*} f'(x) = g'(x) \end{align*}$ , so folgt dort, daß $\begin{align*} f(x)-g(x) \end{align*}$ konstant ist.

Beispiel:

$\begin{align*} f(x) = \sin^2 x \, , \ \ g(x) = - \cos^2 x \end{align*}$

Mit der Kettenregel folgt: $\begin{align*} f'(x) = 2 \sin x \cdot \cos x \end{align*}$ und $\begin{align*} g'(x) = 2 \sin x \cdot \cos x \end{align*}$ , also $\begin{align*} f'(x) = g'(x) \end{align*}$ . Jetzt kann man schließen, daß es eine Konstante $\begin{align*} C \end{align*}$ geben muß mit

$\begin{align*} \sin^2 x - \left( - \cos^2 x \right) = C \end{align*}$

Die Konstante kann man durch die Einsetzung eines konkreten Wertes bestimmen, zum Beispiel $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ , und kommt auf $\begin{align*} C=1 \end{align*}$ , also

$\begin{align*} \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \end{align*}$

Eine etwas merkwürdige Art, den "trigonometrischen Pythagoras" zu beweisen.

11.11.2019, 21:42

AlisaV

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RE: Beweis das Gleichung wahr ist mithilfe von Ableitungen?
Danke für deine Hilfe smile

Schade, hätte mich gefreut, wenn es möglich gewesen wäre ^^

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Beweis das Gleichung wahr ist mithilfe von Ableitungen?

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