Vollständige Induktion

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Masteryourmind Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion
Meine Frage:
Guten Abend zusammen. Es geht um die folgende Aufgabe (siehe Bild).

Es geht um den Aufgabenteil (a):




Meine Ideen:
Mein Gedanken:


Sei dann ist:



= .


Für i=1 und j=2 habe die A-Orthogonalität gezeigt. Fehlt nur noch für alle i und j Big Laugh

Ich habe mir hierzu die. Lösung angeschaut aber verstehe diese nicht so richtig:

Vollständige Induktion:

(IA): .

( Damit ist wohl der Fall i=1 und j=2 gemeint...das verstehe ich noch)

(IS): (Ich verstehe diesen IS nicht. Normalerweise macht man doch sowas wie (n-1) -> n oder n-> n+1.. )





=

das, das 0 ergibt ist mir klar, aber wie hat man denn die Summe weg bekommen ?
Ich denke da spielt die (IV) eine wichtige Rolle, aber ich bin mir nicht sicher deswegen frage ich euch.
Ich würde mich freuen wenn ihr mir helfen könnt.
masteryourmind Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion
Hat keiner eine Idee ? verwirrt Bitte um Hilfe..
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion
Ich verstehe auch nicht was es mit auf sich hat.

Die Idee ist die folgende: Da symmetrisch ist, genügt es zu zeigen, dass A-orthogonal zu ist für alle .

D.h. wir machen Induktion über . D.h. für alle müssen wir zeigen, dass orthogonal zu allen mit ist.

Für ist es der Induktionsanfang, wie du nachgerechnet hast. Nun gehen wir zu über und können benutzen, dass für alle ist. Nun ist die Summe in der Definition von (die Summe, die in deinem Beweis wegfällt) eine Linearkombination dieser . Damit verschwinden die meisten Terme.

Ich hoffe das hilft weiter.
masteryourmind Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion
Danke für die Antwort. Ich will das richtig aufschreiben:


Ind schritt:








Dies ist für alle gleich 0 oder wie ?
mastereyourmind Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion
und wie kommst du drauf das A symmetrisch ist ? Aus der positiv definitheit folgt das ja nicht.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion
Üblicherweise definiert man positiv definit nur für symmetrische Matrizen.

Im Induktionsschritt die Aussage:
für alle .

Du willst zeigen, dass für alle .

Nun ist
.

Nach Linearität des Skalarpodukts ist
.

Nun ist orthogonal zu fast allen nach Induktionsvoraussetzung. Die einzige Ausnahme ist der Summand selbst. Und damit ist der Beweis auch schon beinahe komplett.
Masteryourmind Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion
„Üblicherweise definiert man positiv definit nur für symmetrische Matrizen. ‚„

In Wikipedia ist das nicht der Fall.

„Nun ist d³ orthogonal zu fast allen di nach Induktionsvoraussetzung. Die einzige Ausnahme ist der Summand d³ selbst. „

Ist nicht k der letzte Summand ? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion
Wenn nicht symmetrisch ist, bin ich mir nicht einmal sicher, ob die Aussage überhaupt richtig ist. Wenn nicht symmetrisch ist, ist die Bilinearform nicht symmetrisch. Andererseits gilt positiv definit ist positiv definit. Daher ist das im Allgemeinen keine starke Einschränkung.

An der von der hinterfragten Stelle habe ich wieder die Symmetrie der Biliearform genutzt. Dann kann man die Summanden vertauschen und die stärke Induktionsvoraussetzung nutzen. Nämlich, dass für alle und alle .

Edit: Englisches Wiki fordert Symmetrie. Bitte schaue nach wie ihr es definiert habt.
Masteryourmind Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion
Sorry das ich erst jetzt antworte. Ich hatte von 8uhr morgens bis 7uhr Uni bzw Vorlesung.


Wieso ist der letzte Summand den wir zeigen müssen genau Gamma ? Das ist doch gar nicht in der Summe enthalten ? Tut mir leid das ich mich so anstelle..
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion
Die Zahl ist einfach eine Zahl zwischen und inklusive. Wenn ist, dann hast du Recht: Es ist der letzte Summand der überlebt. Wenn ist, ist es der erste Summand der überlebt. Wenn eben der zweite Summand. Im Allgemeinen ist es der -Summand.

Und das liegt daran, dass wir haben, wenn . Für den Fall, dass ist, wissen wir nicht was passiert. Bei fallen die Summanden aber weg, so viel wissen wir.

Ich hoffe das macht es klarer.
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