Urnenmodell (Bücherverteilung)

12.11.2019, 14:20

wuschelhaschen97

Urnenmodell (Bücherverteilung)

Meine Frage:
In einer Gruppe von 12 Studenten kommen 6 aus Hildesheim, 4 aus Hannover und 2 aus Braunschweig. Der Dozent verlost unter den Studenten 6 Bu ?cher, wobei jeder
(a) beliebig viele Bu ?cher bekommen kann
(b) ho ?chstens ein Buch bekommen kann.
Beschreiben Sie (a) und (b) jeweils durch ein geeignetes Urnenmodell, und bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 4 Bu ?cher nach Hildesheim gehen und mindestens eines nach Hannover.

Meine Ideen:
6 Kugeln aus Hildesheim (Hi)
4 Kugeln aus Hannover (H)
2 Kugeln aus Braunschweig

P_Hi=6/12= 1/2
P_H= 4/12 = 1/3
P_B= 2/12 = 1/6

b) P(N_Hi=4, N_H=1)= 1/2*1/2*1/2*1/2*1/3*1=1/48

12.11.2019, 14:25

Elvis

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Du musst (a) und (b) durch 2 verschiedene geeignete Urnenmodelle beschreiben. Danach kannst du Wahrscheinlichkeiten berechnen. Einfach drauflos rechnen ist keine sinnvolle Option.

12.11.2019, 14:45

wuschelhaschen97

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Ist es denn falsch die Studenten als Kugeln zu nehmen?

Dann hätte ich bei a) 12 Kugeln in der Urne. 6 Hi, 4 H und 2 mit der Beschriftung B. Ich ziehe sechs mal mit zurücklegen.
(Dann können ja Kugeln mehrfach gezogen werden und damit jeder Student beliebt viele Bpcher erhalten.)

Bei b) müsste die Ausgangslage gleich sein. Allerdings zieht man 6 mal ohne zurücklegen. (Dadurch kann jeder Student nur ein Buch erhalten.)

12.11.2019, 14:50

wuschelhaschen97

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Dann würde meine Rechnung bei b) für den 1.Fall gelten (Ziehen mit zurücklegen)

verwirrt

12.11.2019, 14:55

Elvis

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Der Anfang ist schon falsch. Aus Hildesheim kommen 6 Studenten. Wer bekommt das 1. Buch, wenn auf der 1. gezogenen Kugel "Hi" steht?

Deine Rechnung ist auf jeden Fall falsch.

12.11.2019, 15:00

wuschelhaschen97

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Wenn HI gezogen wir bekommt ein Student aus Hildesheim ein Buch.
Da wäre die Wahrscheinlichkeit für Hi doch 1/2, wegen 6/12

Wieso wäre die Rechnung dann falsch? geschockt

12.11.2019, 15:08

Elvis

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Modell ist falsch, weil du nicht nachgedacht hast. Rechnung ist aus demselben Grund falsch. Erst denken, dann modellieren, dann rechnen.

12.11.2019, 15:15

wuschelhaschen97

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Aber ich kann ja nicht die Bücher als Kugeln nehmen und 12 mal Ziehen.

Wie kann ich das Modell denn verändern dass es stimmt?... unglücklich

12.11.2019, 15:23

Elvis

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12 Studenten, 12 Kugeln, eine Urne. Möchtest du eventuell daraus zwei passende Urnenmodelle machen?

12.11.2019, 15:28

wuschelhaschen97

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Dann verstehe ich es nicht...

Ich hatte doch 12 Kugeln und dadurch dass es 6 Bücher gibt. Zieht man 6 Mal. Auf Grund dessen, dass die Studenten beliebig viele Bücher erhalten können, werden die Kugeln jeweils nach der Ziehung zurückgelegt. verwirrt

Bei dem zweiten wäre es doch genauso nur ohne zurücklegen und dadurch verändert sich bei jeder Ziehung die Anzahl der Kugeln und damit der Wahrscheinlichkeit

12.11.2019, 15:42

Elvis

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Was verstehst du nicht? 12 Studenten haben im allgemeinen 12 paarweise verschiedene Namen. Diese Namen schreibt man auf 12 Zettel, steckt die 12 Zettel in 12 Kugeln und die 12 Kugeln in eine Urne. Wenn es Spaß macht, kann man statt "Klaus" auch "Klaus, Hannover" auf einen Zettel schreiben, das ändert aber nichts, wenn es nur einen Klaus gibt. Die 6 Bücher kann man von 1 bis 6 nummerieren und festlegen, dass die StudentIn, die zuerst gezogen wird, das Buch Nummer 1 bekommt usw.
Jetzt kannst du die Modelle a und b aufstellen. 6 mal ziehen. a mit / b ohne Zurücklegen.

12.11.2019, 20:20

wuschelhaschen97

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Aber das habe ich doch auch so gesagt..nur mit anderen Worten.. geschockt

4 Bücher nach Hildesheim und 1 nach Hannover

Dann hätte ich drei Möglichkeiten für a) und b)
P(N__Hi=4,N_B=1,N_H=1)
P(N__Hi=4,N_B=0,N_H=2)
P(N__Hi=5,N_B=0,N_H=1)

a) Ziehen mit zurücklegen

b) ohne zurücklegen

12.11.2019, 21:39

Elvis

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Du hast nicht gesagt, dass die Namen der Studenten in der Urne sind. Bisher hast du auch noch keine sinnvollen Ergebnisse berechnet. Wenn doch, wo sind deine Ergebnisse?

12.11.2019, 23:48

Dopap

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RE: Urnenmodell (Bücherverteilung)

Zitat:

Original von wuschelhaschen97
Meine Frage:
In einer Gruppe von 12 Studenten kommen 6 aus Hildesheim, 4 aus Hannover und 2 aus Braunschweig. Der Dozent verlost unter den Studenten 6 Bücher, wobei jeder
(a) beliebig viele Bücher bekommen kann.

oder so:
ein beliebiger Student kann bis zu 6 Büchern erhalten?
Ist das ein Originaltext?

21.11.2019, 00:05

Ulrich Ruhnau

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RE: Urnenmodell (Bücherverteilung)
Das Urnenmodell soll nicht die Verlosung praktizieren, sondern nur die gesuchten Wahrscheinlichkeiten liefern. Deshalb schlage ich eine Urne mit 12 Kugeln vor. 6 sind schwarz für Hildesheim, 4 sind rot für Hannover und 2 sind blau für Braunschweig.
Um (a) oder (b) zu berechnen, gehe man nun davon aus, daß 6 mal hintereinander eine Kugel gezogen wird, deren Farbe darüber entscheidet, an welche Stadt ein Buch geht. Bei (a) wird die gezogene Kugel jeweils in die Urne zurückgeworfen, bei (b) bleibt sie draußen.

21.11.2019, 18:32

Ulrich Ruhnau

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Fangen wir doch mal mit den 4 Studenten aus Hannover an und betrachten zunächst den Fall (a) wonach jeder Student mehrere Bücher bekommen könnte. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit, daß mindestens ein Buch nach Hannover geht, sei $\begin{eqnarray*} p_H=1-p_{\bar H} \end{eqnarray*}$ . Die Wahrscheinlichkeit, daß alle 6 Bücher nicht nach Hannover gehen, ist

$\begin{eqnarray*} p_{\bar H}=\Bigl(\frac{8}{12} \Bigl)^6=\Bigl(\frac{2}{3} \Bigl)^6=\frac{16}{81} \end{eqnarray*}$ . Demzufolge ist die Wahrscheinlichkeit, daß die beiden Hannoveraner Glück haben und wenigstens ein Buch bekommen

$\begin{eqnarray*} p_H=1-p_{\bar H}=1-\frac{16}{81} =\frac{65}{81} \end{eqnarray*}$

Was ändert sich nun in Fall (b)? In diesem Fall, scheidet ein Student, der ein Buch gewinnt, aus der Verlosung der nachfolgenden Bücher aus. D.h. die Kugel, die den Studenten repräsentiert, wird nicht in die Urne zurückgeworfen. Die Wahrscheinlichkeit, daß alle Studenten aus Hannover leer ausgehen, beträgt dann:

$\begin{eqnarray*} p_{\bar H}=\Bigl(\frac{8}{12} \Bigl)\Bigl(\frac{7}{11} \Bigl)\Bigl(\frac{6}{10} \Bigl)\Bigl(\frac{5}{9} \Bigl)\Bigl(\frac{4}{8} \Bigl)\Bigl(\frac{3}{7} \Bigl) =\frac{6\cdot5}{11\cdot10\cdot9}=\frac{1}{33} \end{eqnarray*}$ und daß mindesten einer ein Buch gewinnt $\begin{eqnarray*} p_H=\frac{32}{33} \end{eqnarray*}$ .

22.11.2019, 00:13

Ulrich Ruhnau

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Und was ist mit den 6 Studenten aus Hildesheim? Bei (a) ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Buch an die Hildesheimer geht, jeweils $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Daß sie dann genau 4 Bücher erhalten, tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} p_{Hi4}=\Bigl(\frac{1}{2}\Bigl)^6*\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf. Daß es genau 5 Bücher sind, trifft zu mit: $\begin{eqnarray*} p_{Hi5}=\Bigl(\frac{1}{2}\Bigl)^6*\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , sowie 6 Bücher mit $\begin{eqnarray*} p_{Hi6}=\Bigl(\frac{1}{2}\Bigl)^6*\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit, daß die Hildesheimer zusammen mindestens 4 Bücher gewinnen
$\begin{eqnarray*} p_{Hi}=\Bigl(\frac{1}{2}\Bigl)^6*\biggl(\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}\biggl) =\frac{15+6+1}{64} =\frac{22}{64}=\frac{11}{32} \end{eqnarray*}$

Bei (b), wo jeder nur ein Buch bekommt, gilt die Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ nur für den ersten Gewinner, falls er aus Hildesheim kommen soll. Fortsetzung nachfolgend.

22.11.2019, 08:51

Ulrich Ruhnau

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Ich mache hier einen Ansatz für die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, daß die Studenten aus Hildesheim noch mindestens 4 Bücher gewinnen werden, wenn jeder Student maximal ein Buch bekommen kann:
Die Wahrscheinlichkeit, daß wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Studenten noch in der Verlosung sind und davon $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Studenten aus Hildesheim kommen, noch mindestens $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Bücher an Hildesheimer verlost werden, ist gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} p_k(n,m)=\frac{m}{n}p_{k-1}(n-1,m-1)+\frac{n-m}{n}p_{k}(n-1,m) \end{eqnarray*}$

Dabei steht der erste Summand für den Fall, daß das erste Buch an einen Hildesheimer geht und der zweite Summand steht für das Gegenteil. Außerdem muß gelten:

$\begin{eqnarray*} p_0(n,m)=1 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n\geq m \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} p_k(n,m) = 0 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n<m \end{eqnarray*}$

Des weiteren besteht die Arbeit darin, beginnend mit $\begin{eqnarray*} k=4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n=12 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m=6 \end{eqnarray*}$ das Ganze rekursiv aufzudröseln.

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