Partielle Integration

12.11.2019, 17:30

yannik0103

Partielle Integration

Meine Frage:
Hi, ich soll mithilfe Von partieller Integration zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray*} \beta_{n}=\beta_{n-1} \int_{-\frac{\pi }{2} }^{\frac{\pi }{2} } \! cos(x)^n \, dx \end{eqnarray*}$
gilt, für $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \beta_{2m}= \frac{\pi }{m} \beta_{2m-2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta_{2m+1}=\frac{2\pi }{2m+1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe es mit partieller Integration versucht und komme auf $\begin{eqnarray*} \beta_{2m}=\beta_{2m-1}(\int_{\frac{-\pi }{2} }^{\frac{\pi }{2} } \! cos(x)^{2m-2} \, dx - \frac{1}{n}\int_{\frac{-\pi }{2} }^{\frac{\pi }{2} } \! cos(x)^{2m-2} \, dx) \end{eqnarray*}$ , aber hier komme ich nicht wirklich weiter
Danke für eure Hilfe

14.11.2019, 14:45

klarsoweit

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RE: Partielle Integration

Zitat:

Original von yannik0103
gilt, für $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \beta_{2m}= \frac{\pi }{m} \beta_{2m-2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta_{2m+1}=\frac{2\pi }{2m+1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig sehe, fehlt da eine Kleinigkeit und es muß eigentlich heißen: $\begin{eqnarray*} \beta_{2m+1} = \frac{2\pi }{2m+1} \beta_{2m-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von yannik0103
Ich habe es mit partieller Integration versucht und komme auf $\begin{eqnarray*} \beta_{2m}=\beta_{2m-1}(\int_{\frac{-\pi }{2} }^{\frac{\pi }{2} } \! cos(x)^{2m-2} \, dx - \frac{1}{n}\int_{\frac{-\pi }{2} }^{\frac{\pi }{2} } \! cos(x)^{2m-2} \, dx) \end{eqnarray*}$ , aber hier komme ich nicht wirklich weiter

Ich kann da deine Rechnung (was ist jetzt das Ausgangsintegral?) leider nicht nachvollziehen. Aber sei's drum.
Eigentlich mußt du ja eine vollständige Induktion machen, das heißt, du kannst annehmen, daß $\begin{eqnarray*} \beta_{2m} = \frac{\pi }{m} \beta_{2m-2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta_{2m+1} = \frac{2\pi }{2m+1} \beta_{2m-1} \end{eqnarray*}$ gilt.

Im Induktionsschritt mußt du dann zeigen, daß $\begin{eqnarray*} \beta_{2m+2} = \frac{\pi }{m+1} \beta_{2m} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta_{2m+3} = \frac{2\pi }{2m+3} \beta_{2m+1} \end{eqnarray*}$ gilt.

Fange nun mit $\begin{eqnarray*} \beta_{2m+2} = \beta_{2m+1} \cdot \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2} } \! cos(x)^{2m+2} \, dx \end{eqnarray*}$ an und mache mit dem Integranden $\begin{eqnarray*} cos(x)^{2m+1} \cdot cos(x) \end{eqnarray*}$ eine partielle Integration.

14.11.2019, 15:16

HAL 9000

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RE: Partielle Integration

Zitat:

Original von yannik0103
$\begin{eqnarray*} \beta_{n}=\beta_{n-1} \int_{-\frac{\pi }{2} }^{\frac{\pi }{2} } \! cos(x)^n \, dx \end{eqnarray*}$

Seltsam, gleich mit so einer Rekursion einzusteigen... Ich würde mich der Übersicht halber erstmal nur dem Faktor $\begin{eqnarray*} \alpha_n := \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ widmen. Wer sich schon mal mit dem Wallisschen Produkt befasst hat, weiß was jetzt kommt: Offenbar ist $\begin{eqnarray*} \alpha_0=\pi \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \alpha_1 = 2 \end{eqnarray*}$ , und für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ folgt per partieller Integration

$\begin{eqnarray*} \alpha_n &=& \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)\cdot \cos^{n-1}(x) ~ \dd x = \left[ \sin(x)\cdot \cos^{n-1}(x)\right]_{x=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} + \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)(x)\cdot (n-1)\cos^{n-2}(x)\sin(x) ~ \dd x\\ &=& (n-1)\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(1-\cos^2(x)\right)\cos^{n-2}(x) ~ \dd x = (n-1)\alpha_{n-2} - (n-1)\alpha_n \end{eqnarray*}$

umgestellt $\begin{eqnarray*} \alpha_n = \frac{n-1}{n}\cdot \alpha_{n-2} \end{eqnarray*}$ . Das kann man jetzt noch in eine explizite Darstellung mit Fakuläten umwandeln, wenn nötig (allerdings für gerade und ungerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ getrennt).

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