Substitution

12.11.2019, 19:49

Manfred17

Substitution

Meine Frage:
Sehr geehrte Damen und Herren,

Ich habe folgende Hausaufgabe bekommen:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = cos (x^2+1)
a) Bilden sie die Ableitungsfunktion
b) Bilden sie wie bei der linearen Substitution die Stammfunktion F von f
c) Zeigen sie, dass F keine Stammfunktion von f sein kann.

Ich bin nun relativ verwirrt. a) und b) hab ich geschafft, bei c) weiß ich aber nicht wirklich was ich tun soll

Meine Ideen:
a) f´(x) = -2cos(x^2+1)

b) 1/2 sin(x^2+1)

12.11.2019, 20:12

Leopold

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a) ist völlig falsch gelöst. Es liegt eine Verkettung vor, also mußt du auch die Kettenregel anwenden.

Die Aufgabe b) ist ein bißchen irre. Man könnte es auch so sagen: Lösen Sie die Aufgabe falsch und weisen Sie nach, daß Ihre Lösung falsch ist. Ich weiß, was hier gemeint ist. Bei der linearen Substitution bekommt man ja, wenn $\begin{align*} G \end{align*}$ eine Stammfunktion von $\begin{align*} g \end{align*}$ ist, aus

$\begin{align*} f(x) = g(ax+b) \end{align*}$

eine Stammfunktion durch

$\begin{align*} F(x) = \frac{1}{a} \cdot G(ax+b) \end{align*}$

Interessant ist der Faktor $\begin{align*} \frac{1}{a} \end{align*}$ . Er ist der Kehrwert der Ableitung der inneren Funktion $\begin{align*} \varphi(x) = ax+b \end{align*}$ .

Und jetzt soll vermutlich dieser Vorgang verallgemeinert werden. Man bilde aus $\begin{align*} f(x) = g \left( \varphi(x) \right) \end{align*}$ die Funktion $\begin{align*} F(x) = \frac{1}{\varphi'(x)} \cdot G \left( \varphi(x) \right) \end{align*}$ (hier den Begriff "Stammfunktion" wie in der Aufgabe b) zu verwenden ist verfrüht und deplatziert). In deinem Beispiel ist $\begin{align*} \varphi(x) = x^2+1 \end{align*}$ und $\begin{align*} g(t) = \cos(t) \end{align*}$ .

Du hast bei b) eine falsche falsche Funktion angegeben (jedenfalls im Sinne des Aufgabenstellers). Die richtige falsche Funktion bildest du so, wie ich es gerade erklärt habe. Und dann mußt du nachweisen, daß das gar keine Stammfunktion ist.
Und noch eine Bitte: Schmeiße nicht einfach Terme in die Landschaft, sondern gib ihnen einen Bezug, also nicht $\begin{align*} 4x^3-1 \end{align*}$ oder so etwas, sondern $\begin{align*} F(x) = 4x^3 - 1 \end{align*}$ und ähnlich.

12.11.2019, 20:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Die Aufgabe b) ist ein bißchen irre.

Nicht ein bisschen, sondern vollkommen irre und krank. Seine Intentionen muss der Aufgabensteller auch anders formulieren können.

12.11.2019, 20:43

Manfred17

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Erstmal vielen dank für die Hilfe,
das mit der Formatierung tut mir leid. Es ist mein erster Tag auf dieser Plattform.

Nun stellt sich mir aber die Frage was an a) den falsch sein sollte, ich habe es eigentlich genauso gemacht, wie bei vielen Aufgaben davor, die richtig waren.

Bei b) würde ich vielleicht noch einmal eine Erklärung für den Volksmund begrüßen, ich weiß nämlich nicht mal, wofür das "Phi" in der Gleichung steht.

12.11.2019, 21:20

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nicht ein bisschen, sondern vollkommen irre und krank. Seine Intentionen muss der Aufgabensteller auch anders formulieren können.

Das Anliegen des Aufgabenstellers ist berechtigt. In der Tat kenne ich genau diesen Denkfehler aus dem Unterricht, daß die Leute glauben, in $\begin{align*} \frac{1}{\varphi'(x)} G \left( \varphi(x) \right) \end{align*}$ eine Stammfunktion gefunden zu haben und nicht bedenken, daß durch die Nichtkonstanz des Vorfaktors jetzt die Produktregel zur Anwendung kommt, was dann nicht mehr zum gewünschten Ableitungsergebnis führt. So weit, so gut. Aber in der Tat ist es krank, dies auf diese Art in eine Aufgabe für Schüler zu kleiden. Vor allem kann man nicht schreiben

Zitat:

Original von Manfred17
b) Bilden sie wie bei der linearen Substitution die Stammfunktion F von f

Hier wird der Begriff "Stammfunktion" im Sinne eines formalen Nachahmungsprozesses verwendet und nicht mehr als Funktion F mit Ableitung f. Wenn Didaktiker über diese Problematik nachdenken, ist das gut und wichtig. Daß man aber annimmt, auch Schüler hätten schon dieses Hintergrundwissen und könnten in dieser Metaebene denken, ist schon ein wenig sonderbar.

Ich habe mir überlegt, wie ich diese Aufgabe formulieren würde. Vielleicht so.

Nachdem Mario ein paar Aufgaben zur linearen Substitution gelöst hat, überlegt er sich, wie er bei $\begin{align*} f(x) = cos(x^2) \end{align*}$ eine Stammfunktion bilden könnte. Er denkt sich: Bei der linearen Substitution muß man immer noch mit dem Kehrwert der Ableitung multiplizieren, also mache ich das hier genau so. Die innere Funktion hat die Ableitung $\begin{align*} 2x \end{align*}$ , also bilde ich $\begin{align*} F(x) = \frac{1}{2x} \sin(x^2) \end{align*}$ .
Rechnen Sie nach, daß Marios F(x) keine Stammfunktion von f(x) ist. Woran scheitert die doch eigentlich ganz vernünftige Idee?

12.11.2019, 21:25

Leopold

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In $\begin{align*} f(x) = \cos \left( x^2+1 \right) \end{align*}$ ist $\begin{align*} \varphi(x) = x^2 + 1 \end{align*}$ die innere Funktion und $\begin{align*} g(t) = \cos(t) \end{align*}$ die äußere Funktion. Eine Verkettung ist nach der Kettenregel zu differenzieren:

Ableitung der Verkettung = Ableitung der äußeren Funktion, die innere mitgenommen, mal die Ableitung der inneren Funktion

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