Beweis richtig?

12.11.2019, 21:39

Lea32

Beweis richtig?

Meine Frage:
Hallo zusammen. Ich habe versucht ein Beweis zu machen und ich hoffe das ist richtig.

Meine Ideen:
Z.z $\begin{eqnarray*} f( \bar{x} )=\min_{ x \in R^{n} } f(x) \Rightarrow \bar{x} löst A x=b \end{eqnarray*}$

Beweis:

Da $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ Minimum von f(x) ist muss $\begin{eqnarray*} \nabla f( \bar{x} )=0 \end{eqnarray*}$ gelten.

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x)=Ax-b \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} A\bar{x}-b =0 \end{eqnarray*}$ , daraus folgt die Behauptung.

Z.z $\begin{eqnarray*} \bar{x} löst A x=b \Rightarrow f( \bar{x})= \min_{x \in R^{n}} f(x) \end{eqnarray*}$

Beweis:

Es gilt $\begin{eqnarray*} A \bar{x}-b=0 \end{eqnarray*}$ . Das ist genau der Gradient von f im Punkt $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ .
Also ist $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ ein Extrempunkt. Berechnet man die Hesse Matrix von f bekommt man
A, da A positiv definit ist muss $\begin{eqnarray*} f( \bar{x}) \end{eqnarray*}$ ein Minimum sein.

Ist das so richtig ?

13.11.2019, 10:16

Lea32

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RE: Beweis richtig ?
Kann mir keiner weiterhelfen?

13.11.2019, 10:29

IfindU

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RE: Beweis richtig ?
Das sieht gut aus. Aber der zweite Beweis hat ggf. noch eine Lücke. Aus $\begin{eqnarray*} \nabla^2 f(\overline x) > 0 \end{eqnarray*}$ folgt zusätzlich erst einmal nur $\begin{eqnarray*} \overline x \end{eqnarray*}$ ein lokales Minimum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist. Wenn du weisst, dass $\begin{eqnarray*} \nabla^2 f > 0 \end{eqnarray*}$ überall impliziert, dass es höchstens ein Minimum gibt, dann reicht es natürlich.

13.11.2019, 11:31

Lea32

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RE: Beweis richtig ?
Hallo und danke für die Antwort.

Die zweite Ungleichung gilt, da A positiv definit nach Aufgabenstellung ist oder ?

13.11.2019, 13:03

IfindU

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RE: Beweis richtig ?
Genau, und das hast du ja bereits beschrieben.

Die Frage ist nur, ob du weisst, dass es impliziert dass höchstens ein Minimum gibt.

13.11.2019, 13:18

Lea32

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RE: Beweis richtig ?
Nein das weiß ich nicht. verwirrt

was nun?

13.11.2019, 15:20

Lea34

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RE: Beweis richtig ?

Zitat:

Original von IfindU.... Wenn du weisst, dass $\begin{eqnarray*} \nabla^2 f > 0 \end{eqnarray*}$ überall impliziert, dass es höchstens ein Minimum gibt, dann reicht es natürlich.

Ich verstehe diesen Satz nicht was meinst du damit verwirrt

13.11.2019, 17:25

IfindU

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RE: Beweis richtig?
Ich hole mal etwas weiter aus. Du hast gezeigt, dass Lösungen ein lokales Minimum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sind. Du sollst aber zeigen, dass es ein globales Minimum ist.

Betrachte folgende Funktion:

Hier ist bei $\begin{eqnarray*} x \approx 0,5 \end{eqnarray*}$ ein lokales Minimum. Dort ist die erste Ableitung 0 und die zweite Ableitung positiv. Aber es ist nicht das globale Minimum. So ist die Funktion gar nach unten unbeschränkt.

Die Funktion ist aber nicht konvex (d.h. die zweite Ableitung ist nicht überall positiv). Ich hatte die Hoffnung du weisst, dass konvexe Funktionen nur höchstens ein Minimum haben. Der Beweis ist nicht schwer, aber im Höherdimensionalen notationell unangenehm.

Eine Skizze für den eindimensionalen Fall:
Sei $\begin{eqnarray*} f \colon \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ zweimal stetig differenzierbar, so dass $\begin{eqnarray*} f''>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} f'(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein globales Minimum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .
Beweis:
Angenommen es gibt $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1) < f(x_0) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} 0 > f(x_1) - f(x_0) = \int_{x_0}^{x_1} f'(y) \mathrm{d}y \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f'' > 0 \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ monoton wachsend. Das führt zu einem Widerspruch (am Besten unterscheidet man zwei Fälle: $\begin{eqnarray*} x_1 < x_0[/]l und [l] x_1 > x_0 \end{eqnarray*}$ .

Der gleiche Beweis gilt analog im Höherdimensionalen.

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