Minimum von Summe von Quadraten

14.11.2019, 12:41

manuel459

Minimum von Summe von Quadraten

Hi Leute,

ich möchte das Minimum folgender Menge bestimmen:
$\begin{eqnarray*} M=\{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i^2| \forall i:x_i>0 , \sum\limits_{i=1}^{n} x_i^=1\} \end{eqnarray*}$

Dazu habe ich die AM QM Ungleichung verwendet und komme auf 1.

Kennt ihr einen Weg, das auch ohne AM QM zu machen? Ich habe bisher HM GM AM bewiesen, jedoch AM QM noch nicht. Kann man das umgehen (und damit einen einfacheren Lösungsweg finden)?

Danke und LG

14.11.2019, 12:53

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \frac 1 2+\frac 1 2 = 1 \end{eqnarray*}$ . Ich sehe nicht, dass daraus folgt $\begin{eqnarray*} \frac 1 4+\frac 1 4 \ge 1 \end{eqnarray*}$
Was ist AM, HM,GM,QM ?

14.11.2019, 13:23

manuel459

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Schande, da habe ich doch tatsächlich einen Tippfehler. Es sollte natürlich 1/n heißen.

https://en.wikipedia.org/wiki/HM-GM-AM-QM_inequalities

14.11.2019, 14:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von manuel459
Kennt ihr einen Weg, das auch ohne AM QM zu machen?

Ja, über die CSU. Könnte mir aber vorstellen, dass dich diese Antwort auch nicht so richtig glücklich macht. Augenzwinkern

14.11.2019, 17:49

manuel459

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Danke! Zumindest habe ich die Gewissheit, dass ich nicht mit Kanonen auf Spatzen schieße! Big Laugh

14.11.2019, 18:23

HAL 9000

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Man könnte aber auf den Beweis der CSU schielen und so einen sehr einfachen elementaren Weg beschreiten, der lediglich darauf baut, dass Quadrate nichtnegativ sind:

Für $\begin{eqnarray*} (x_1,\ldots,x_n) \end{eqnarray*}$ , die deiner Bedingung $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n x_i=1 \end{eqnarray*}$ genügen, gilt

$\begin{eqnarray*} 0\leq \sum_{i=1}^n \left(x_i-\frac{1}{n}\right)^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 - \frac{2}{n}\sum_{i=1}^n x_i + n\cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ,

und Gleichheit wird genau dann erreicht, wenn alle Summanden links gleich Null sind, d.h. $\begin{eqnarray*} x_i=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Die Positivität der $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ wird nicht mal benötigt...

14.11.2019, 23:08

manuel459

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Ein sehr eleganter Weg! Jetzt bin ich schwer beeindruckt. Vielen Dank für die Tolle Hilfe! smile

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