Mengen skizzieren

14.11.2019, 13:07

Blue_

Mengen skizzieren

Meine Frage:
Wie skizziere ich die Menge M=z|CC Im(z^3/(1+i))>=0)?

Meine Ideen:
Ich habe (z^3/(1+i)) umgeformt zu (z^3-z^3i)/2 . Davon ist ja der Imaginärteil -z^3/2 *i. Doch skizziere ich das jetzt?

Ich bedanke mich schon einmal für alle Antworten!

14.11.2019, 13:21

Steffen Bühler

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RE: Mengen skizzieren
Setze z=x+iy.

Kommst Du damit schon weiter?

Viele Grüße
Steffen

14.11.2019, 13:29

Blue_

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RE: Mengen skizzieren
Vielen Dank für die Antwort!

Wenn ich z=a+bi setze und ausrechne komme ich auf (a^3i+3abi+3ab-b^3)/2. Doch wie mache ich jetzt weiter?

14.11.2019, 13:39

Steffen Bühler

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RE: Mengen skizzieren
Die Substitution war auf den Anfang bezogen, nicht auf Deine begonnene Umformung! Denn da hast Du nicht beachtet, dass z selber ja auch noch einen Imaginärteil besitzt.

Außerdem ist der Imaginärteil einer Zahl x+iy ist die rein reelle Zahl y, nicht iy.

Prinzipiell geht es dann weiter, indem Du die i wegstreichst und nach b auflöst, dann siehst Du wahrscheinlich schon die Art der Kurve(n).

EDIT: ich musste den Beitrag noch etwas abändern...

14.11.2019, 14:01

Blue_

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RE: Mengen skizzieren
Danke!!

Jetzt bin ich bei (-a^3+3ab^2+3a^2b-3b^3/)/2 >= 0

Wie löse ich das jetzt auf? Also zuerst *2 aber dann?...

14.11.2019, 14:15

Steffen Bühler

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RE: Mengen skizzieren
Bis jetzt prima!

Kubische Gleichungen löst man mit den Cardanischen Formeln.

Du könntest den Term aber auch faktorisieren, dann hast Du das Produkt eines linearen und quadratischen Teils, das sich leichter lösen lässt.

14.11.2019, 15:22

Leopold

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Wenn sich irgendwo Polarkoordinaten anbieten, dann doch hier. Mit der Beobachtung, daß $\begin{align*} \left( 1 - \operatorname{i} \right)^3 = -2 \left( 1 + \operatorname{i} \right) \end{align*}$ ist, kann man umformen:

$\begin{align*} \frac{z^3}{1 + \operatorname{i}} = -2 \cdot \left( \frac{z}{1 - \operatorname{i}} \right)^3 = - 2 w^3 \ \ \text{mit} \ \ w = \frac{z}{1 - \operatorname{i}} \end{align*}$

Und damit kann man die Ungleichung äquivalent umformen:

$\begin{align*} \operatorname{Im} \left( \frac{z^3}{1 + \operatorname{i}} \right) \geq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \operatorname{Im} \left( -2w^3 \right) \geq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ -2 \cdot \operatorname{Im} \left( w^3 \right) \geq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \operatorname{Im} \left( w^3 \right) \leq 0 \end{align*}$

Die letzte Ungleichung wird zunächst von $\begin{align*} w=0 \end{align*}$ erfüllt. Für alle anderen $\begin{align*} w \end{align*}$ kann man

$\begin{align*} w = r \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \ \ \text{mit} \ \ r>0 \, , \ - \pi \leq t < \pi \end{align*}$

ansetzen. Die Ungleichung $\begin{align*} \operatorname{Im} \left( w^3 \right) \leq 0 \end{align*}$ läuft dann auf $\begin{align*} \sin(3t) \leq 0 \end{align*}$ hinaus. Sind die $\begin{align*} w \end{align*}$ bestimmt, so muß man wegen

$\begin{align*} z = \left( 1 - \operatorname{i} \right) w = \sqrt{2} \operatorname{e}^{- \operatorname{i} \frac{\pi}{4}} w \end{align*}$

den $\begin{align*} w \end{align*}$ -Bereich um 45° im Uhrzeigersinn drehen (und mit dem Faktor $\begin{align*} \sqrt{2} \end{align*}$ strecken, was sich hier nicht auswirkt) und erhält so die gesuchten $\begin{align*} z \end{align*}$ . Die Lösungen und Nichtlösungen bestimmen in der Gaußschen Zahlenebene einen gefächerten Bereich aus 60°-Winkelfeldern.

14.11.2019, 22:02

Blue_

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Danke!

Ich verstehe nur den letzten Schritt der Lösung nicht. Ich habe alles nachgerechnet und komme für w auf w= Wurzel2 *( cos(pi/4)+i*sin(pi/4))
Jetzt muss ich ja das in z=w*(1-i) einsetzen. Doch wie komme ich dann auf die Lösungen?
Außerdem weiß ich nicht wie ich das dann skizziere...

14.11.2019, 22:07

Leopold

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Zitat:

Original von Blue_
Ich habe alles nachgerechnet und komme für w auf w= Wurzel2 *( cos(pi/4)+i*sin(pi/4))

Die w machen doch eine unendliche große Fläche aus. Wie kann es da sein, daß du ein einzelnes w angibst? Ich verstehe nichts.

15.11.2019, 08:58

Steffen Bühler

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Du scheinst Leopolds $\begin{eqnarray*} z = \sqrt{2} \operatorname{e}^{- \operatorname{i} \frac{\pi}{4}} w \end{eqnarray*}$ missverstanden zu haben, da steht nicht $\begin{eqnarray*} z = \sqrt{2} \operatorname{e}^{- \operatorname{i} \frac{\pi}{4}} \end{eqnarray*}$ . Und selbst dann wäre die Umwandlung falsch gewesen.

Du sollst hier zunächst $\begin{eqnarray*} \operatorname{Im} \left( w^3 \right) \leq 0 \end{eqnarray*}$ lösen, genauer die drei Winkel herausfinden, die die Kubikwurzeln einer komplexen Zahl besitzen, wenn einer davon Null ist. Und dann einsetzen.

Auch wenn ich Leopolds Methode hochelegant finde, schlage ich doch vor, dass wir uns doch besser auf Cardano oder Polynomdivision beschränken. smile

16.11.2019, 08:03

Leopold

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RE: Mengen skizzieren
Ich empfehle die Lösung in Polarkoordinaten. Das andere geht natürlich auch. Ich finde aber, daß da Cardano ziemlich weit weg ist. Allerdings sollte man richtig rechnen.

Zitat:

Original von Blue_
(-a^3+3ab^2+3a^2b-3b^3/)/2 >= 0

Der letzte Faktor 3 im Dividenden stimmt nicht. Es muß daher

$\begin{align*} -x^3 - y^3 +3x^2y + 3xy^2 \geq 0 \end{align*}$

heißen (ich schreibe lieber $\begin{align*} x,y \end{align*}$ statt $\begin{align*} a,b \end{align*}$ ). Hier bietet sich eine Faktorisierung an. Denn sowohl $\begin{align*} -x^3 - y^3 \end{align*}$ als auch $\begin{align*} 3x^2y + 3xy^2 \end{align*}$ sind durch $\begin{align*} x+y \end{align*}$ teilbar. Der quadratische Faktor, der beim Abspalten von $\begin{align*} x+y \end{align*}$ übrigbleibt, kann weiter zerlegt werden. Wenn du alles richtig machst, kommst du auf

$\begin{align*} (y+x) \left( y - \left( 2 + \sqrt{3} \right)x \right) \left( y - \left( 2 - \sqrt{3} \right)x \right) \leq 0 \end{align*}$

Und ein Produkt aus drei Faktoren wird negativ, wenn entweder alle drei Faktoren negativ sind oder zwei positiv und einer negativ. Man muß daher ein paar Fallunterscheidungen treffen. Wenn man jeden der drei Faktoren null setzt, bekommt man drei Gleichungen für Geraden. Diese Geraden begrenzen die entsprechenden Lösungsbereiche. Man bekommt dasselbe wie bei der Lösung in Polarkoordinaten.

@ Blue_
Es ist eine nützliche Übung, beide Lösungsvarianten durchzurechnen. Es war vielleicht nicht besonders hilfreich von mir, einen alternativen Lösungsvorschlag einzubringen, bevor der alte durchgerechnet war. Jetzt entscheide dich für einen der beiden Wege und bringe ihn zu Ende. Dann den andern Weg.

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