Spezielle Anwendung Cauchy-Integral

14.11.2019, 15:06

Namenloser324

Spezielle Anwendung Cauchy-Integral

Ich versuche gerade ein Paper nachzuvollziehen. Der Teil an dem ich hänge ist in "Wold_decomposition.png" zu sehen. Es geht um die Argumentation unter der Gleichung (49). L(z) ist eine analytische Funktion für |z| >= 1 (siehe auch "Wold_decomposition_2.png"; l_0 ist gerade der nullte Koeffizient der Potenzreihenentwicklung von L(z)). Der Autor verweist auf das Cauchy Theorem um den Radius des Integrationskreises gegen unendlich laufen zu lassen. Soweit so gut. Hier tauchen ein paar Fragen auf:

i) L(z) wird im allgemeinen komplexwertig sein. Dann müsste ln(L(z)) ja den komplexen Logarithmus beschreiben. Der ist aber nicht holomorph. Alle Theoreme aus der Funktionentheorie die ich von Cauchy kenne handeln von holomorphen Funktionen über die integriert wird.

ii) Selbst wenn der gesamte Ausdruck unter dem Integral in (49) holomorph wäre (im Integrationsgebiet), so sollte das Ergebnis gemäß Cauchy Integralsatz gerade identisch Null sein.

Kann mir jemand weiterhelfen? Falls es hilft: L(z) ist eine Faktorisierung eines nicht negativen Leistungsdichtespektrums $\begin{eqnarray*} S(e^{j\omega}) = |L(e^{j\omega})|^2 \end{eqnarray*}$ wobei hier das "j" die imaginare Zahl bezeichnet.

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17.11.2019, 10:30

Huggy

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RE: Spezielle Anwendung Cauchy-Integral

Zitat:

Original von Namenloser324
i) L(z) wird im allgemeinen komplexwertig sein. Dann müsste ln(L(z)) ja den komplexen Logarithmus beschreiben. Der ist aber nicht holomorph.

Das ist so nicht richtig. Richtig ist, dass sich der komplexe Logarithmus nicht auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C/\{0\} \end{eqnarray*}$ als holomorphe Funktion definieren lässt, ja nicht mal als stetige Funktion. Man muss die komplexe Ebene ausgehend vom Nullpunkt irgendwo aufschlitzen, meist entlang der negativen reellen Achse. In dem Restgebiet ist der komplexe Logarithmus dann holomorph definierbar. Das bedeutet aber nicht, dass man dieselbe Einschränkung generell für Funktionen $\begin{eqnarray*} g(z)= \ln (L(z)) \end{eqnarray*}$ hat. Wenn man ein beliebiges Gebiet $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ nimmt, in dem $\begin{eqnarray*} L(z) \end{eqnarray*}$ holomorph ist und keine Werte auf der negativen reellen Achse einschließlich des Nullpunkts annimmt, dann ist $\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ holomorph. Einfaches Beispiel: $\begin{eqnarray*} L(z) \end{eqnarray*}$ sei konstant, $\begin{eqnarray*} L(z)=z_0\neq 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} g(z)= \ln z_0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ holomorph. Es ist also durchaus möglich, dass für die Funktion $\begin{eqnarray*} L(z) \end{eqnarray*}$ aus dem Zitat wie dort behauptet gilt, dass $\begin{eqnarray*} \ln (L(z)) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z| \geq 1 \end{eqnarray*}$ holomorph ist.

Zitat:

ii) Selbst wenn der gesamte Ausdruck unter dem Integral in (49) holomorph wäre (im Integrationsgebiet), so sollte das Ergebnis gemäß Cauchy Integralsatz gerade identisch Null sein.

Wie kommst du denn zu diesem Schluss? Seien $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ zwei Kreise um den Nullpunkt mit Radien $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ . Dann folgert der Autor aus dem Cauchyschen Satz, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \oint_{C_1} \frac 1 z \ln (L(z)) dz = \oint_{C_2} \frac 1 z \ln (L(z)) dz \end{eqnarray*}$

Der Schluss ist vollkommen korrekt. Dazu verbindet man die beiden Kreise durch ein Geradenstück. Jetzt integiert man ausgehend von dem Geradenstück um den einen Kreis herum, dann entlang des Geradenstücks zu dem zweiten Kreis, dann von dort um den zweiten Kreis herum im entgegengesetzen Umlaufsinn und zuletzt wieder entlang des Geradenstücks zu dem Ausgangspunkt auf dem ersten Kreis zurück. Man hat jetzt über eine geschlssene Kurve integriert. Diese umschließt ein einfach zusammenhängendes Gebiet, weil der Kreisring zwischen den beiden Kreisen, der kein einfach zusammenhängendess Gebiet wäre, durch das Geradenstück in ein einfach zusamenhängendes Gebiet zerlegt wird. Der Integrand ist in diesem Gebiet holomorph. Also ergibt das Integral nach Cauchy den Wert Null. Da das Geradenstück zweimal in entgegengesetze Richtungen durchlaufen wird, heben sich diese beiden Teilintegrale gerade auf. Also müssen sich auch die beiden Teilintegrale über die beiden Kreise auch aufheben. Also müssen die Integrale über die beiden Kreise gleich sein, wenn man die Kreise im selben Umlaufsinn durchlaufen würde.

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