Basiswechsel von Funktion

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TomCA Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechsel von Funktion
Meine Frage:
Moin,
Wir haben in den letzten Vorlesungen das Thema Basiswechsel behandelt und nun eine Übung erhalten. Bei der Aufgabe haben wir eine Funktion




Nun betrachten wir die Punktmenge

Durch Übergang von der kanonisches Basis in eine geeignete Othogonale sei es möglich die Punktmenge P als parabelartig zu identifizieren.

Meine Ideen:
Dazu mein Ansatz:

Funktion umschreiben in

Nun Eigenwerte der 2x2 Matrix, sowie ein beliebiger Eigenvektor zum Eigenwert. Diese Eigenvektoren in eine Matrix B zusammenfassen:


Da B^T*B = E ist habe ich auch schon mein .

Der Basiswechsel läuft mit der Formel ab. Somit erhalte ich:



Nun ist meine Frage wie ich damit weiter rechnen kann. Um P in der neuen Basis zu repräsentieren und um den Scheitelpunkt zu bestimmen, diesen in beiden Basen darstellen.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basiswechsel von Funktion
Zur Klarstellung ergänze ich mal dahingehend, dass wir die Punktmenge identifizieren wollen, die durch die Gleichung

gegeben ist. Diese Gleichung ist immer dann erfüllt, wenn wir Punktkoordinaten aus P bezüglich der Standardbasis einsetzen.
Dieselbe Punktmenge können wir durch Punktkoordinaten bezüglich einer anderen, gegenüber der Standardbasis gedrehten* Orthonormalbasis beschreiben, wofür Du schon die Vorarbeit geleistet hast.
Das würde dann so aussehen:

*Daher empfehle ich stets, die gefundenen Eigenvektoren in der Reihenfolge gedrehter Standardbasisachsen anzuordnen, also

so dass man die neuen Basisachsen gleich vor Augen hat.
Die erste Matrix oben ergibt sich aus der Koordinatenumrechnung und ist somit die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten zu den neuen Basisvektoren.
Die zweite Matrix folgt aus der Koordinatenumrechnung

und ist somit das Produkt


Rechne damit nun die resultierende Gleichung in "x-Strich"-Koordinaten aus und siehe, was passiert.

Ein Bild mit der gesuchten gedrehten Parabel und der korrespondierenden Standardbasis-Parabel hänge ich zur Veranschaulichung der Lagebeziehungen an.
 
 
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