Selbstabbildungsintervall einer Funktion lokalisieren

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15.11.2019, 12:03	xCuse	Auf diesen Beitrag antworten »
Selbstabbildungsintervall einer Funktion lokalisieren Meine Frage: Hallo an euch alle, ich habe aktuell Probleme mit der Fixpunkiteration, wobei es dabei eher bei der Lokalisierung eines geeigneten Intervalls hapert, in dem sich die Fixpunktgleichung in sich selbst abbildet. Sei beispielsweise die Fixpunktgleichung $\begin{eqnarray} x = 2-e^{x} \end{eqnarray}$ gegeben. Wie kann ich für diese Gleichung ein geeignetes Intervall identifizieren. Meine Ideen: Ich habe bisher keine Analytische Idee und habe lediglich durch Einsetzen diverser Werte versucht ein geeignetes Intervall in dem sich die Gleichung in sich selbst abbildet zu lokalisieren. Jedoch kann ich mir nicht vorstellen, dass es dafür keine geeignetere Methode gibt. Ich hoffe Ihr könnt da ein bisschen nachhelfen. Gruß, xCuse
15.11.2019, 12:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^0+0=1<2<e^1+1=e+1 \end{eqnarray}$ , so ist (0,1) bestimmt ein viel versprechendes Intervall.
15.11.2019, 12:49	xCuse	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, erst einmal danke für deine Antwort. Jetzt stellen sich mir jedoch doch einige Fragen zur Thematik. Ich habe es bisher so verstanden, dass die Fixpunktgleichung Werte aus dem Intervall [a,b] wieder in diesem Intervall abbilden muss, sprich konkret für diesen Fall dachte ich: $\begin{eqnarray} g(x) = 2- e^{x} \end{eqnarray}$ und dafür dann weiter: $\begin{eqnarray} g(x) \in [a,b] für x \in [a,b] \end{eqnarray}$ Muss ich so wie du es beschrieben hast bei der Intervallsuche die Funktion aus der die Fixpunktgleichung erzeugt wurde auf ein gültiges Intervall untersuchen?
15.11.2019, 13:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Egal wie die Gleichung heißt, sie kann nur für ein $\begin{eqnarray} x\in(0,1) \end{eqnarray}$ erfüllt sein. In der Tat ist $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ genau dann dann ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray} g(x)=2-e^x \end{eqnarray}$ , wenn die Gleichung $\begin{eqnarray} g(x_0)=2-e^{x_0}=x_0 \end{eqnarray}$ erfüllt ist. Und das ist gleichbedeutend damit, dass die Gleichung $\begin{eqnarray} e^{x_0}+x_0=2 \end{eqnarray}$ erfüllt ist. Weil $\begin{eqnarray} e^x+x \end{eqnarray}$ eine streng monoton wachsende stetige reelle Funktion ist, gibt es genau eine Stelle $\begin{eqnarray} x_0\in (0,1) \end{eqnarray}$ , wo sie den Wert $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ annimmt, und außerhalb dieses Intervalls gibt es keinen solchen Wert. Also gibt es genau einen Fixpunkt von $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ .
15.11.2019, 14:26	xCuse	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke soweit verstehe ich das was du schreibst, habe aber eine weitere Frage: Wenn ich jetzt dieses Intervall habe und mit diesem die Fixpunktiteration für: $\begin{eqnarray} x_{n+1}=2-e^{x_n} \end{eqnarray}$ durchführe, dann divergiert das Verfahren und ich habe wenn ich mit dem Startwert $\begin{eqnarray} x_{1}=0 \end{eqnarray}$ beginne, bereits nach der zweiten Iteration einen Wert der nicht mehr im Intervall liegt: $\begin{eqnarray} x_{3}=2-e^{x_2}=2-e^{1}=-0.7... \end{eqnarray}$ . Was bedeutet das in diesem Fall? Und gäbe es denn überhaupt die Möglichkeit ein geeignetes Intervall zu finden, sodass die Iteration konvergiert?
15.11.2019, 18:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sollte dieses Verfahren gegen den Fixpunkt konvergieren ? Wäre es nicht sinnvoller, z.B. mit dem Newton-Verfahren die Nullstelle von $\begin{eqnarray} f(x)=x+e^x-2 \end{eqnarray}$ zu berechnen ? Das konvergiert rattenschnell und zuverlässig für jeden Startwert im Intervall $\begin{eqnarray} [-10^6,30] \end{eqnarray}$ (in Excel). Es sieht nicht so aus als ob dein Verfahren eine Chance hätte, nicht einmal dann, wenn man direkt neben dem Fixpunkt anfängt.
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15.11.2019, 19:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@xCuse Damit das Iterationsverfahren $\begin{eqnarray} x_{n+1}=f(x_n) \end{eqnarray}$ gegen einen Fixpunkt $\begin{eqnarray} x^ \end{eqnarray}$ konvergiert, sollte Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in der Nähe dieses Fixpunktes kontrahierend sein, bei differenzierbaren $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ heißt das $\begin{eqnarray} \|f'(x)\|\leq 1 \end{eqnarray}$ . Bei deinem $\begin{eqnarray} f(x) = 2-e^x \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f'(x) = -e^x \end{eqnarray}$ , und in der Nähe von $\begin{eqnarray} x^\approx 0.44 \end{eqnarray}$ trifft $\begin{eqnarray} \|f'(x)\|\leq 1 \end{eqnarray}$ keineswegs zu. Damit passiert genau das, was Elvis aufgelistet hat: Die Folge bewegt sich vom Grenzwert weg statt auf ihn zu.
15.11.2019, 19:42	xCuse	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, mir ist klar, dass die von mir beschriebene Fixpunktgleichung nicht konvergiert. In erster Linie ging es mir darum, wie ich ein gescheites Intervall erhalte, dass um einen Fixpunkt herum liegt. Das Intervall von dir, also $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ könnte ich ja auch genauso gut zu $\begin{eqnarray} [-x,1] \end{eqnarray}$ umschreiben da dies nach deinem Ansatz in der ersten Antwort legitim ist. An dieser Stelle wäre es definitiv besser das Newton-Verfahren zu verwenden oder schlicht eine andere Fixpunktgleichung für die ursprüngliche Funktion zu erzeugen. Nehmen wir mal kurzerhand an, dass die gegebene Fixpunktgleichung geprüft werden soll, ob sie für die Fixpunktiteration in Frage käme. Dafür müsste ich eben erst ein Intervall festlegen wie du es mit $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ bereits getan hast. Als nächstes würde ich prüfen, ob die Funktion divergiert. Tut sie in diesem Fall nicht. Aber ist dies jetzt allgemein gültig? Sprich was ist mit anderen möglichen Intervallen die die Selbstabbildung erfüllen? Könnte in einem dieser Intervalle eventuell eine Konvergenz möglich sein? Kann ich auf irgendeine Weise zeigen, falls ich kein Intervall gegeben habe und selbst eines festlegen muss, dass basierend auf diesem eine Konvergenz für dieses Intervall und für alle anderen ausgeschlossen ist? Sorry für die vielen neu auftauchenden Fragen und vielen Dank für deine Zeit und Mühe!
15.11.2019, 19:47	xCuse	Auf diesen Beitrag antworten »
War zu langsam und habe deine Antwort jetzt erst gesehen @HAL 9000. Bedeutet dass, dass egal welches gültige Intervall ich für meine Funktion ermittle, solange $\begin{eqnarray} \| f'(x) \| \leq 1 \end{eqnarray}$ nicht erfüllt wird kann ich davon ausgehen das meine Gleichung nicht konvergiert?
15.11.2019, 19:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe dir gezeigt, was geht. HAL 9000 hat erklärt, warum dein Wunsch nicht erfüllt werden kann. Egal was du machst, dein Verfahren ist falsch, weil hier nicht anwendbar. Nachtrag: Ich war zu schnell. Die Antwort auf deine letzte Frage ist eindeutig JA.
15.11.2019, 19:50	xCuse	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar! Das klärt jetzt für mich einige wichtige Fragen! Vielen Dank an euch beide!

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