Wann gilt Gleichheit?

15.11.2019, 12:04

manuel459

Wann gilt Gleichheit?

Hallo liebe Community,

ich habe unter Verwendung der Ungleichung $\begin{eqnarray*} \prod_{ i=1 }^{n } y_i\leq \left( \frac{ 1 }{n } \sum_{ i=1 }^{ n }{ y_i }\right)^n \end{eqnarray*}$ gezeigt, dass für $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,...,x_n >0 \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} n\leq\sum_{ i=1 }^{n }{ \frac{ x_i }{ x_{\sigma(i)} } } \end{eqnarray*}$ ist, wenn $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ eine Permutation auf der Menge $\begin{eqnarray*} \{1,2,...,n\} \end{eqnarray*}$ ist.

Gleichheit gilt zunächst klarerweise, wenn $\begin{eqnarray*} x_i=x_{\sigma(i)} \end{eqnarray*}$ für alle i in $\begin{eqnarray*} \{1,2,...,n\} \end{eqnarray*}$ ist. Genügt es denn (laut eurer Meinung) dies so zu begründen? - oder müsste man noch beweisen, dass es keine anderen Fälle geben kann, wo $\begin{eqnarray*} n=\sum_{ i=1 }^{n }{ \frac{ x_i }{ x_{\sigma(i)} } } \end{eqnarray*}$ ist?

Falls ja, kann mir da jemand einen Tipp geben wie man sich das dann überlegt?

Danke und LG

15.11.2019, 12:18

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichheit in der AMGM-Ungleichung gilt bekanntlich genau dann, wenn alle einfließenden Werte einander gleich sind. Nun haben wir im vorliegenden Fall für deine Werte $\begin{eqnarray*} a_i=\frac{x_i}{x_{\sigma(i)}} \end{eqnarray*}$ ja die Kopplung, dass deren Produkt gleich 1 ist. Sind alle $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ einander gleich, dann bedeutet diese Kopplung ja $\begin{eqnarray*} a_1^n=1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} a_1=1=a_i \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ .

15.11.2019, 12:18

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wann gilt Gleichheit?
Du verwendest die AM-GM-Ungleichung. Netterweise weiß man schon wann diese "scharf" ist, d.h. wo Gleichheit gilt. Das ist der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} y_1 = y_2 = \ldots = y_n \end{eqnarray*}$ . (Wiki-Link).

Jetzt kann man leicht argumentieren, warum hier dann alle $\begin{eqnarray*} y_i = \frac { x_i}{x_{\sigma(i)}} \end{eqnarray*}$ identisch 1 sein müssen. D.h. dein Beispiel ist wirklich das einzig Mögliche.

15.11.2019, 12:35

manuel459

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wann gilt Gleichheit?
Danke für die schnellen Antworten!

Gibts da auch einen anderen Weg? Dass die AM-GM Ungleichung scharf ist habe ich nämlich noch nicht bewiesen und kann das daher auch noch nicht verwenden.

Ich habe es mit einem Widerspruchsbeweis versucht (Annahme es gäbe noch eine andere Variante...), da komme ich aber nicht weiter.

15.11.2019, 19:45

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von manuel459
Gibts da auch einen anderen Weg?

Ja: Such dir einen Beweisweg von AMGM, der gleich mit Rücksicht auf diesen Fakt nimmt. Dann entfallen diese dämlichen Selbstbeschränkungen an Wissen über AMGM. Augenzwinkern

16.11.2019, 10:14

manuel459

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, Danke! smile

Neue Frage »

Antworten »

Wann gilt Gleichheit?

Verwandte Themen