Gruppen der Ordnung 14 |
15.11.2019, 21:04 | Ironfist | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gruppen der Ordnung 14 Hi, darum geht's, also zu zeigen, dass es bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen der Ordnung 14 gibt. Meine Ideen: Der Satz von Cauchy liefert mir zwei Elemente mit den Ordnungen 2 bzw. 7. Für diese gilt . Somit ist und wegen der Gleichmächtigkeit kann bijektiv sein. Tja und mit dem Hinweis, ich soll die Anzahl der 2-Sylows berechnen, kann ich nichts anfangen |
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15.11.2019, 22:08 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
gibt genau 2 Möglichkeiten für die Anzahl der 2-Sylowgruppen. (Zuerst selbst rechnen und dann bei Wikipedia Sylowsaetze und Liste kleiner Gruppen ansehen.) |
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15.11.2019, 22:40 | Ironfist | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich meinte, dass ich nicht weiß, was mir die Anzahl der 2-Sylows bringen soll Also nur 1 und 7 teilen 7. Beide lassen den Rest 1 bei Division durch 2. Auf die Idee mit der Liste kleiner Gruppen bei Wikipedia kam ich auch . Die beiden Gruppen sind demnach und . Da Spiegelungen selbstinvers sind, gibt es sieben 2-elementige Unterguppen . |
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16.11.2019, 07:09 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die zyklische Gruppe hat eine 2-Sylowgruppe und eine 7-Sylowgruppe. Die Diedergruppe hat 7 2-Sylowgruppen und eine 7-Sylowgruppe. Alle Sylowgruppen sind zyklisch. Durch die Sylowgruppen sind die Gruppen der Ordnung 14 festgelegt, also gibt es nur diese beiden Gruppen. |
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16.11.2019, 14:55 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gruppen der Ordnung 14
Die Spiegelung und die Drehung mögen erzeugen. Dann ist kein Normalteiler, denn und sind verschieden. Man kann daher bei nicht von einem direkten Produkt sprechen. |
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16.11.2019, 16:49 | Ironfist | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
„Durch die Sylowgruppen sind die Gruppen der Ordnung 14 festgelegt, also gibt es nur diese beiden Gruppen.“ Nutzt du für diese Folgerung einen bestimmten Satz? @Leopold: Okay. Ich habe mich dabei an der Argumentation für orientiert. Dort hat man und . Da hat der Prof das so wie ich gemacht und dann geschrieben: ist weder eine Potenz von noch eine Potenz von . Gilt , so ist die Gruppe abelsch und folglich isomorph zu Z/6Z. Gilt , so legt diese Gleichung schon die ganze Gruppenstruktur fest und wir haben die vor uns. |
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16.11.2019, 17:52 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das ist nicht nötig. Hier legen die jeweiligen Sylowgruppen bereits alle Elemente der Gruppe fest. Die Sylowgruppen sind zyklisch, weil von Primzahlordnung. Eine 2-Sylowgruppe und eine 7-Sylowgruppe enthalten nur 8 Gruppenelemente, also muss ein Element der Ordnung 14 existieren. Eine 7-Sylowgruppe und sieben 2-Sylowgruppen enthalten genau 14 Gruppenelemente. Da gibt es keinen Spielraum und keine Freiheit mehr, das ist die reine Sylowkratie. |
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16.11.2019, 23:22 | Ironfist | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah okay, danke. Habe alles verstanden, auch warum es ein Element der Ordnung 14 geben muss. Nur eins habe ich noch nicht verstanden, warum ich dann habe . |
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16.11.2019, 23:40 | Ironfist | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sagen wir mal die 7-Sylow sieht so aus und die 2-Sylow so . Wegen muss , wobei . Also ist praktisch schon . Zudem haben die Elemente jeweils Elementordnung 14. Jetzt fehlt mir noch ein kurzer Kommentar, der diese losen Gedankenfäden zusammenführt und mir sagt, dass hier gerade die einzige Möglichkeit ist |
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17.11.2019, 13:39 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Element der Ordnung 14 erzeugt die zyklische Gruppe der Ordnung 14. . Wenn eine Gruppe der Ordnung n ein Element der Ordnung n enthält, dann ist die Gruppe die zyklische Gruppe der Ordnung n. |
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18.11.2019, 20:50 | Ironfist | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super, danke! |
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