Gruppen der Ordnung 14

15.11.2019, 21:04

Ironfist

Gruppen der Ordnung 14

Meine Frage:
Hi, darum geht's, also zu zeigen, dass es bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ der Ordnung 14 gibt.

Meine Ideen:
Der Satz von Cauchy liefert mir zwei Elemente $\begin{eqnarray*} g,h\in G \end{eqnarray*}$ mit den Ordnungen 2 bzw. 7.

Für diese gilt $\begin{eqnarray*} \langle g\rangle \cap \langle h\rangle = \{e\} \end{eqnarray*}$ . Somit ist $\begin{eqnarray*} |\langle g\rangle \times \langle h\rangle | = 14 \end{eqnarray*}$ und wegen der Gleichmächtigkeit kann $\begin{eqnarray*} \langle g\rangle \times \langle h\rangle \to G \end{eqnarray*}$ bijektiv sein.

Tja und mit dem Hinweis, ich soll die Anzahl der 2-Sylows berechnen, kann ich nichts anfangen Big Laugh

15.11.2019, 22:08

Elvis

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$\begin{eqnarray*} s_2\equiv 1\mod 2,s_2|7 \end{eqnarray*}$ gibt genau 2 Möglichkeiten für die Anzahl der 2-Sylowgruppen.
(Zuerst selbst rechnen und dann bei Wikipedia Sylowsaetze und Liste kleiner Gruppen ansehen.)

15.11.2019, 22:40

Ironfist

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Ich meinte, dass ich nicht weiß, was mir die Anzahl der 2-Sylows bringen soll Big Laugh

Also nur 1 und 7 teilen 7. Beide lassen den Rest 1 bei Division durch 2.

Auf die Idee mit der Liste kleiner Gruppen bei Wikipedia kam ich auch Freude

. Die beiden Gruppen sind demnach $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{14} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_7 \end{eqnarray*}$ . Da Spiegelungen selbstinvers sind, gibt es sieben 2-elementige Unterguppen $\begin{eqnarray*} \{e,s_i\},\quad i=1,...,7 \end{eqnarray*}$ .

16.11.2019, 07:09

Elvis

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Die zyklische Gruppe hat eine 2-Sylowgruppe und eine 7-Sylowgruppe. Die Diedergruppe hat 7 2-Sylowgruppen und eine 7-Sylowgruppe. Alle Sylowgruppen sind zyklisch. Durch die Sylowgruppen sind die Gruppen der Ordnung 14 festgelegt, also gibt es nur diese beiden Gruppen.

16.11.2019, 14:55

Leopold

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RE: Gruppen der Ordnung 14

Zitat:

Original von Ironfist
Für diese gilt $\begin{eqnarray*} \langle g\rangle \cap \langle h\rangle = \{e\} \end{eqnarray*}$ . Somit ist $\begin{eqnarray*} |\langle g\rangle \times \langle h\rangle | = 14 \end{eqnarray*}$

Die Spiegelung $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ und die Drehung $\begin{align*} \delta \end{align*}$ mögen $\begin{align*} D_7 \end{align*}$ erzeugen. Dann ist $\begin{align*} U = \langle \sigma \rangle \end{align*}$ kein Normalteiler, denn $\begin{align*} \delta U = \left\{ \delta, \delta \sigma \right\} = \left\{ \delta, \sigma \delta^6 \right\} \end{align*}$ und $\begin{align*} U \delta = \left\{ \delta, \sigma \delta \right\} \end{align*}$ sind verschieden. Man kann daher bei $\begin{align*} D_7 = \langle \sigma \rangle \cdot \langle \delta \rangle \end{align*}$ nicht von einem direkten Produkt sprechen.

16.11.2019, 16:49

Ironfist

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„Durch die Sylowgruppen sind die Gruppen der Ordnung 14 festgelegt, also gibt es nur diese beiden Gruppen.“
Nutzt du für diese Folgerung einen bestimmten Satz?

@Leopold: Okay. Ich habe mich dabei an der Argumentation für $\begin{eqnarray*} |G|= 6 \end{eqnarray*}$ orientiert. Dort hat man $\begin{eqnarray*} C_6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ . Da hat der Prof das so wie ich gemacht und dann geschrieben: $\begin{eqnarray*} hg \end{eqnarray*}$ ist weder eine Potenz von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ noch eine Potenz von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ . Gilt $\begin{eqnarray*} hg = gh \end{eqnarray*}$ , so ist die Gruppe abelsch und folglich isomorph zu Z/6Z. Gilt $\begin{eqnarray*} hg = gh^2 \end{eqnarray*}$ , so legt diese Gleichung schon die ganze Gruppenstruktur fest und wir haben die $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ vor uns.

16.11.2019, 17:52

Elvis

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Zitat:

Original von Ironfist
„Durch die Sylowgruppen sind die Gruppen der Ordnung 14 festgelegt, also gibt es nur diese beiden Gruppen.“
Nutzt du für diese Folgerung einen bestimmten Satz?

Nein, das ist nicht nötig. Hier legen die jeweiligen Sylowgruppen bereits alle Elemente der Gruppe fest. Die Sylowgruppen sind zyklisch, weil von Primzahlordnung.
Eine 2-Sylowgruppe und eine 7-Sylowgruppe enthalten nur 8 Gruppenelemente, also muss ein Element der Ordnung 14 existieren.
Eine 7-Sylowgruppe und sieben 2-Sylowgruppen enthalten genau 14 Gruppenelemente.
Da gibt es keinen Spielraum und keine Freiheit mehr, das ist die reine Sylowkratie. Big Laugh

16.11.2019, 23:22

Ironfist

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Zitat:

Original von Elvis
Nein, das ist nicht nötig. Hier legen die jeweiligen Sylowgruppen bereits alle Elemente der Gruppe fest. Die Sylowgruppen sind zyklisch, weil von Primzahlordnung.
Eine 2-Sylowgruppe und eine 7-Sylowgruppe enthalten nur 8 Gruppenelemente, also muss ein Element der Ordnung 14 existieren.
Eine 7-Sylowgruppe und sieben 2-Sylowgruppen enthalten genau 14 Gruppenelemente.
Da gibt es keinen Spielraum und keine Freiheit mehr, das ist die reine Sylowkratie. Big Laugh

Ah okay, danke. Habe alles verstanden, auch warum es ein Element der Ordnung 14 geben muss. Nur eins habe ich noch nicht verstanden, warum ich dann $\begin{eqnarray*} C_{14} \end{eqnarray*}$ habe Big Laugh

16.11.2019, 23:40

Ironfist

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Sagen wir mal die 7-Sylow sieht so aus $\begin{eqnarray*} \{e, g, ..., g^6\} \end{eqnarray*}$ und die 2-Sylow so $\begin{eqnarray*} \{e,h\} \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} \langle g\rangle \cap \langle h\rangle = \{e\} \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} \langle g\rangle \times \langle h\rangle \subset G \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} |\langle g\rangle \times \langle h\rangle | = 14 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} \langle g\rangle \times \langle h\rangle \end{eqnarray*}$ praktisch schon $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Zudem haben die Elemente $\begin{eqnarray*} gh,...,g^6h \end{eqnarray*}$ jeweils Elementordnung 14.

Jetzt fehlt mir noch ein kurzer Kommentar, der diese losen Gedankenfäden zusammenführt und mir sagt, dass hier gerade $\begin{eqnarray*} G=C_{14} \end{eqnarray*}$ die einzige Möglichkeit ist verwirrt

17.11.2019, 13:39

Elvis

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Ein Element $\begin{eqnarray*} gh \end{eqnarray*}$ der Ordnung 14 erzeugt die zyklische Gruppe der Ordnung 14. $\begin{eqnarray*} C_{14}=C_7\times C_2\cong \mathbb Z_{14}=\mathbb Z_7\times \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ . Wenn eine Gruppe der Ordnung n ein Element der Ordnung n enthält, dann ist die Gruppe die zyklische Gruppe der Ordnung n.

18.11.2019, 20:50

Ironfist

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Super, danke! Wink

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