Gruppen der Ordnung 14

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Ironfist Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen der Ordnung 14
Meine Frage:
Hi, darum geht's, also zu zeigen, dass es bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen der Ordnung 14 gibt.

Meine Ideen:
Der Satz von Cauchy liefert mir zwei Elemente mit den Ordnungen 2 bzw. 7.

Für diese gilt . Somit ist und wegen der Gleichmächtigkeit kann bijektiv sein.

Tja und mit dem Hinweis, ich soll die Anzahl der 2-Sylows berechnen, kann ich nichts anfangen Big Laugh
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

gibt genau 2 Möglichkeiten für die Anzahl der 2-Sylowgruppen.
(Zuerst selbst rechnen und dann bei Wikipedia Sylowsaetze und Liste kleiner Gruppen ansehen.)
 
 
Ironfist Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte, dass ich nicht weiß, was mir die Anzahl der 2-Sylows bringen soll Big Laugh

Also nur 1 und 7 teilen 7. Beide lassen den Rest 1 bei Division durch 2.

Auf die Idee mit der Liste kleiner Gruppen bei Wikipedia kam ich auch Freude . Die beiden Gruppen sind demnach und . Da Spiegelungen selbstinvers sind, gibt es sieben 2-elementige Unterguppen .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die zyklische Gruppe hat eine 2-Sylowgruppe und eine 7-Sylowgruppe. Die Diedergruppe hat 7 2-Sylowgruppen und eine 7-Sylowgruppe. Alle Sylowgruppen sind zyklisch. Durch die Sylowgruppen sind die Gruppen der Ordnung 14 festgelegt, also gibt es nur diese beiden Gruppen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen der Ordnung 14
Zitat:
Original von Ironfist
Für diese gilt . Somit ist


Die Spiegelung und die Drehung mögen erzeugen. Dann ist kein Normalteiler, denn und sind verschieden. Man kann daher bei nicht von einem direkten Produkt sprechen.
Ironfist Auf diesen Beitrag antworten »

„Durch die Sylowgruppen sind die Gruppen der Ordnung 14 festgelegt, also gibt es nur diese beiden Gruppen.“
Nutzt du für diese Folgerung einen bestimmten Satz?

@Leopold: Okay. Ich habe mich dabei an der Argumentation für orientiert. Dort hat man und . Da hat der Prof das so wie ich gemacht und dann geschrieben: ist weder eine Potenz von noch eine Potenz von . Gilt , so ist die Gruppe abelsch und folglich isomorph zu Z/6Z. Gilt , so legt diese Gleichung schon die ganze Gruppenstruktur fest und wir haben die vor uns.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ironfist
„Durch die Sylowgruppen sind die Gruppen der Ordnung 14 festgelegt, also gibt es nur diese beiden Gruppen.“
Nutzt du für diese Folgerung einen bestimmten Satz?


Nein, das ist nicht nötig. Hier legen die jeweiligen Sylowgruppen bereits alle Elemente der Gruppe fest. Die Sylowgruppen sind zyklisch, weil von Primzahlordnung.
Eine 2-Sylowgruppe und eine 7-Sylowgruppe enthalten nur 8 Gruppenelemente, also muss ein Element der Ordnung 14 existieren.
Eine 7-Sylowgruppe und sieben 2-Sylowgruppen enthalten genau 14 Gruppenelemente.
Da gibt es keinen Spielraum und keine Freiheit mehr, das ist die reine Sylowkratie. Big Laugh
Ironfist Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Nein, das ist nicht nötig. Hier legen die jeweiligen Sylowgruppen bereits alle Elemente der Gruppe fest. Die Sylowgruppen sind zyklisch, weil von Primzahlordnung.
Eine 2-Sylowgruppe und eine 7-Sylowgruppe enthalten nur 8 Gruppenelemente, also muss ein Element der Ordnung 14 existieren.
Eine 7-Sylowgruppe und sieben 2-Sylowgruppen enthalten genau 14 Gruppenelemente.
Da gibt es keinen Spielraum und keine Freiheit mehr, das ist die reine Sylowkratie. Big Laugh

Ah okay, danke. Habe alles verstanden, auch warum es ein Element der Ordnung 14 geben muss. Nur eins habe ich noch nicht verstanden, warum ich dann habe Big Laugh .
Ironfist Auf diesen Beitrag antworten »

Sagen wir mal die 7-Sylow sieht so aus und die 2-Sylow so . Wegen muss , wobei . Also ist praktisch schon . Zudem haben die Elemente jeweils Elementordnung 14.

Jetzt fehlt mir noch ein kurzer Kommentar, der diese losen Gedankenfäden zusammenführt und mir sagt, dass hier gerade die einzige Möglichkeit ist verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Element der Ordnung 14 erzeugt die zyklische Gruppe der Ordnung 14. . Wenn eine Gruppe der Ordnung n ein Element der Ordnung n enthält, dann ist die Gruppe die zyklische Gruppe der Ordnung n.
Ironfist Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke! Wink Freude
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