Möglichkeiten mit verschiedenen Gruppen

16.11.2019, 07:07

Kamil_PinGuiN

Möglichkeiten mit verschiedenen Gruppen

Meine Frage:
Hallo, ich bin schon am verzweifeln.
Ich versuche für ein Video eigentlich eine einfache (dachte ich) Aufgabe zu lösen.
Es geht um ein Spiel in dem es Waffen mit einer Menge Aufsätzen gibt. Für die eine Waffe gibt es 9 Kategorien in den es verschiedene Anzahl an Aufsätzen gibt:
(Kat. ab jetzt für Kategorie)
Kat.1 = 7 Auswahlmöglichkeiten
Kat.2 = 3
Kat.3 = 3
Kat.4 = 21
Kat.5 = 4
Kat.6 = 13
Kat.7 = 3
Kat.8 = 3
Kat.9 = 11

Ich möchte berechnen wie viele Möglichkeiten es gibt eine Waffe zusammenzustellen. Jetzt kommen aber die Hacken:
- Man kann aus jeder Kat. höchstens einen Aufsatz auswählen. Wenn ein Aufsatz z.B.: aus Kat.2 genommen wird, kann kein Anderer aus dieser Kategorie mehr gezogen werden.
- Man kann höchstens 5 Aufsätze für die Waffe nehmen. Es gibt 5 Slots die belegt werden können.

Mich interessiert hauptsächlich nur wie ich die maximale Anzahl an Möglichkeiten berechnen kann. Da es noch viele andere Waffen gibt, mit anderen Mengen an Aufsätzen, würde mir nur die Lösung nicht viel bringen... und lernen will ich es ja sowieso.

Meine Ideen:
Ich habe erst folgend versucht:
68×65×62×59×56 doch das Ergebnis scheint mir echt viel zu Groß.
Warum so? Es gibt ja 68 Auswahlmöglichkeiten für Slot-1. Geht man davon aus, dass die Wahl auf ein Aufsatz aus z.B.: Kat.2 gefallen ist, bleiben für Slot-2 nur noch 65 Auswahlmöglichkeiten...
Ich habe um die maximale Menge zu berechnen jedes mal die Kategorien genommen die die wenigsten Auswahlmöglichkeiten haben, da man ja jedes mal dann die ganze Kategorie für die nächste Wahl blockt.
Die Rechnung mit der Formel n!/[(n-k)!×k!] scheint mir falsch da hier nicht die Tatsache berücksichtigt wird, dass man mit einer Wahl eine Katrgorie blockiert und sich somit für die nächste Wahl die Möglichkeiten verringern.

19.11.2019, 04:01

Ulrich Ruhnau

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RE: Möglichkeiten mit verschiedenen Gruppen.
Die gesuchte Anzahl an Möglichkeiten $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist nur als Summe darstellbar und erfordert zur Berechnung ein Computerprogramm.

$\begin{eqnarray*} N=\sum\limits_{1\leq i<j<k<l<m\leq 9} n_i n_j n_k n_l n_m \end{eqnarray*}$

dabei ist $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ die Anzahl der möglichen Aufsätze der Kategorie $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . Gäbe es nur jeweils einen Aufsatz pro Kategorie, dann wären das $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.

Ich hatte in einstündiger Arbeit eine ausführlichere Antwort erarbeitet. Jedoch ging diese Antwort durch einen Systemabsturz bei Matheboard verloren.

19.11.2019, 07:14

Elvis

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Das ist fast wie bei Fermat, wo der Rand des Buches zu schmal war um den Beweis aufzuschreiben. Immer wieder werden große Mathematiker durch physikalische Kleinigkeiten behindert. Big Laugh

19.11.2019, 07:55

HAL 9000

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Außerdem ist bereits im Ansatz ein Fehler:

Das obige $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ erfasst nur die Möglichkeiten, dass GENAU 5 Aufsätze verwendet werden. Die Aufgabenstellung lässt auch weniger als 5 Aufsätze zu - wenn ich das richtig sehe, ist sogar auch die Pur-Variante ohne Aufsätze denkbar.

@Kamil_PinGuiN

Spielt es eine Rolle, wie die (bis zu) 5 Aufsätze auf die Slots veteilt werden? D.h., wenn man dieselben 5 Aufsätze auf unterschiedliche Weise auf die Slots verteilt, sind das dann in deiner Zählweise verschiedene Varianten oder doch dieselbe? So ganz klar wird das aus deinen Ausführungen nicht.

19.11.2019, 09:06

Ulrich Ruhnau

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Wenn dem so sein sollte, wie von HAL 9000 geschildert, dann ist es ein Leichtes, meine Formel anzupassen.

$\begin{eqnarray*} N=\sum\limits_{1\leq i<j<k<l<m\leq 9} (n_i+1)(n_j+1)(n_k+1)(n_l+1)(n_m+1) \end{eqnarray*}$

Vielleicht sollte Kamil_PinGuiN mal erklären, um welches Computerspiel es sich handelt. Es könnte ja jemanden geben, der das Spiel kennt und deshalb Unklarheiten bei der Aufgabenstellung beseitigen könnte.

19.11.2019, 09:10

HAL 9000

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Nein, so lässt sich das nicht korrigieren: Denk mal genau nach - auf diese deine Weise zählst du jetzt alle Varianten mit 4 und weniger Aufsätzen mehrfach. unglücklich

19.11.2019, 09:27

Ulrich Ruhnau

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Also schauen wir uns das doch mal im Einzelnen an! $\begin{eqnarray*} n_1=7, n_2=3,n_3=3,n_4=21 \end{eqnarray*}$ usw. Jetzt nehmen wir den Index $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , der von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ läuft. Dann haben wir mit $\begin{eqnarray*} i=1 \end{eqnarray*}$ zusätzlich zu den 7 Möglichkeiten, aus Kategorie 1 einen Aufsatz auszuwählen, noch die achte Möglichkeit, den Aufsatz wegzulassen. Entsprechendes gilt für die anderen ausgewählten Kategorien, denn die Kategorie wird durch die Wahl der Waffe bestimmt, selbst wenn ich zur ihr keinen Aufsatz auswähle.

19.11.2019, 19:25

HAL 9000

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Wohl nur durch ein richtiges Beispiel belehrbar... Also schauen wir uns das doch mal im Einzelnen an, und zwar nur drei Kategorien: $\begin{eqnarray*} n_1=7, n_2=3,n_3=3 \end{eqnarray*}$

Jetzt suchen wir die Anzahl der Möglichkeiten für bis zu zwei Aufsätze, das sind (inklusive Null Aufsätze)

$\begin{eqnarray*} 7\cdot 3 + 7\cdot 3 + 3\cdot 3 + 7 + 3 + 3 + 1 = 65 \end{eqnarray*}$

Nach der Ulrich-Ruhnau-Formel sind es aber

$\begin{eqnarray*} 8\cdot 4 + 8\cdot 4 + 4\cdot 4 = 80 \end{eqnarray*}$ ,

deutlich zuviel. unglücklich

Man kann auch genau aufschlüsseln, wieso: Die 7+3+3 Einzelaufsätze werden doppelt gezählt, und zwar als *A und A*. Der Nullaufsatz wird sogar dreimal gezählt, macht 13+2=15 zuviel.

---------------------------------------------------------------------

Auch eine Möglichkeit des Abzählens:

Polynom $\begin{eqnarray*} (1+7x)(1+3x)^4(1+21x)(1+4x)(1+13x)(1+11x) \end{eqnarray*}$ ausmultiplizieren und nur die Koeffizienten aller Potenzen $\begin{eqnarray*} x^0\ldots x^5 \end{eqnarray*}$ betrachten. Deren Summe 1730823 ist die gesuchte Anzahl, natürlich auf die bisher vermutete Zählweise bezogen.

20.11.2019, 22:51

Ulrich Ruhnau

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Kamil_PinGuiN schrieb in seiner Aufgabenstellung:

Zitat:

Es geht um ein Spiel in dem es Waffen mit einer Menge Aufsätzen gibt. Für die eine Waffe gibt es 9 Kategorien in den es verschiedene Anzahl an Aufsätzen gibt:

Das schlechte Deutsch von Kamil_PinGuiN macht die Sache unklar. Ich würde ihn jetzt mal so verstehen, daß er meinte:

Zitat:

Es geht um ein Spiel mit unterschiedlichen Waffen mit jeweils einer anderen Kategorie von Aufsätzen. In jeder Kategorie ist eine bestimmte Anzahl Aufsätze auswählbar.

Demnach wären die Möglichkeiten nicht nur nach den ausgewählten Zusätzen zu unterscheiden, sondern auch nach den ausgewählten Waffen. Aber vielleicht hat es keinen Sinn, darüber lange zu diskutieren. Wenn Kamil_PinGuiN sich nicht mehr meldet, wird hier nichts geklärt und der Rest ist akademisch.

21.11.2019, 07:23

HAL 9000

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Nicht verzetteln: Die Kategorienauflistung für Aufsätze oben bezieht sich klar und deutlich auf eine Waffe. Und unsere bisherigen Rechnungen gehen davon aus, dass die genaue Zuordnung zu den fünf Aufsatzslots bei der Berechnung der Möglichkeiten keine Rolle spielen soll, sondern nur die Menge der ausgewählten Aufsätze.

P.S.: Ich finde es etwas seltsam, dass du dich nicht mehr zu der Kontroverse hinsichtlich deiner Anzahlformel äußerst. Das verstehe ich mal als stillschweigendes Fehlereingeständnis angesichts des Gegenbeispiels.

21.11.2019, 12:06

klauss

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RE: Möglichkeiten mit verschiedenen Gruppen.

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Ich hatte in einstündiger Arbeit eine ausführlichere Antwort erarbeitet. Jedoch ging diese Antwort durch einen Systemabsturz bei Matheboard verloren.

Der Uhrzeit Deines Beitrags entnehme ich, dass es sich um dieses Phänomen gehandelt haben muß. Ist nach meinen Beobachtungen weiterhin aktuell.

21.11.2019, 16:54

Ulrich Ruhnau

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@HAL 9000:

1. Was in schlechtem Deutsch geschrieben steht, ist niemals eindeutig.
2. Ich weiß zwar nicht, was ein Aufsatz bei einer Waffe sein soll. Welche Aufsätze möglich sind hängt aber bestimmt vom Typ ab. Ist das nicht logisch?

HAL 9000 schrieb:

Zitat:

P.S.: Ich finde es etwas seltsam, dass du dich nicht mehr zu der Kontroverse hinsichtlich deiner Anzahlformel äußerst. Das verstehe ich mal als stillschweigendes Fehlereingeständnis angesichts des Gegenbeispiels.

Wir können natürlich über Formeln reden, auch wenn die Aufgabenstellung unklar ist. Die Frage ist nur, ob sich das lohnt. Ich würde nämlich sagen, wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, dann ist meine Lösung richtig. Und wenn HAL 9000 die Aufgabe richtig aufgefaßt hat, dann ist seine Lösung richtig.

Im Übrigen hat Klauss recht.

21.11.2019, 17:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Ich würde nämlich sagen, wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, dann ist meine Lösung richtig.

Ich sehe keine Interpretation, in der die Formel

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
$\begin{eqnarray*} N=\sum\limits_{1\leq i<j<k<l<m\leq 9} (n_i+1)(n_j+1)(n_k+1)(n_l+1)(n_m+1) \end{eqnarray*}$

richtig ist. unglücklich

------------------------------------------------

Also nochmal von vorn: Deine Formel

$\begin{eqnarray*} N_5 = \sum\limits_{1\leq i<j<k<l<m\leq 9} n_i n_j n_k n_l n_m \end{eqnarray*}$

ist richtig für genau (!) fünf Aufsätze in der Zählweise, dass nur die Auswahlmenge der Aufsätze entscheidend ist, nicht aber deren Zuordnung (d.h. Reihenfolge) zu den fünf Slots. Ich nehme ja stark an, dass du bei maximal fünf Aufsätzen zunächst ebenfalls bei dieser Zählweise bleiben willst, oder etwa nicht?

Naheliegenderweise bekommt man da die Formel

$\begin{eqnarray*} N_{\leq 5} = \sum\limits_{1\leq i<j<k<l<m\leq 9} n_i n_j n_k n_l n_m + \sum\limits_{1\leq i<j<k<l\leq 9} n_i n_j n_k n_l + \sum\limits_{1\leq i<j<k\leq 9} n_i n_j n_k + \sum\limits_{1\leq i<j\leq 9} n_i n_j + \sum\limits_{1\leq i\leq 9} n_i + 1 \end{eqnarray*}$

für maximal fünf Aufsätze, inklusive des Falls Null Aufsätze (das ist die Anzahl 1 am Ende).

Du behauptest nun oben - zumindest habe ich dich so verstanden - dass man diese letzte Anzahl auch so ausrechnen kann

$\begin{eqnarray*} N_{\leq 5} \stackrel{???}{=} \sum\limits_{1\leq i<j<k<l<m\leq 9} (n_i+1)(n_j+1)(n_k+1)(n_l+1)(n_m+1) \end{eqnarray*}$ ,

was ich in Zweifel ziehe, und diese Methodik habe ich anhand des (kleineren, aber ebenso wirksamen) Gegenbeispiels widerlegt. Dass du dieses Beispiel nicht einsiehst, spricht nicht gerade für eine gute Fehlerkultur bei dir.

EDIT (22.11.): Scheint so, als hat Ulrich Ruhnau nur Zeit für andere Threads, aber nicht für diesen. Manch einem fällt es anscheinend irrsinnig schwer, einen Fehler zuzugeben.

24.11.2019, 10:42

Ulrich Ruhnau

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Also jetzt noch mal: Der Fragestekller schrieb in seinem ersten Beitrag:

Zitat:

Ich möchte berechnen wie viele Möglichkeiten es gibt eine Waffe zusammenzustellen.

Zum Zusammenstellen der Waffe gehört 1. die Auswahl der Waffe und 2. die Auswahl des Aufsatzes. Mit anderen Worten erst die Kombination von Waffe und Aufsatz bildet eine Möglichkeit, nach der hier gefragt wurde.

Zitat:

Naheliegenderweise bekommt man da die Formel
N≤5=∑1≤i<j<k<l<m≤9ninjnknlnm+∑1≤i<j<k<l≤9ninjnknl+∑1≤i<j<k≤
9ninjnk+∑1≤i<j≤9ninj+∑1≤i≤9ni+1
für maximal fünf Aufsätze, inklusive des Falls Null Aufsätze (das ist die Anzahl 1 am Ende).

Die Formel von HAL 9000 beschreibt aber nur, wieviele Kombinationen es gibt, 0 bis 5 Aufsätze auszuwählen. Da ist die Auswahl der Waffe noch nicht berücksichtigt. Ich hingegen wähle erst einmal die Waffe aus und suche mir ggf. den Aufsatz aus der zur Waffe passenden Kategorie aus. Wenn es also innerhalb einer Kategorie $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ Aufsätze gibt, habe ich statt der $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten einen Aufsatz auszuwählen noch eine weitere Möglichkeit, die darin besteht, es nicht zu tun. Also habe ich den Faktor $\begin{eqnarray*} (n_i+1) \end{eqnarray*}$ für meine Summe. Augenzwinkern

Im Übrigen habe ich ein Problem damit, Beiträge mit Formeln zu zitieren. Die Formeln werden unkenntlich und bestehen nicht mehr aus Latex. Früher ging das Kopieren problemlos. Kann mir jemand sagen, wie man das neuerdings machen muß? Tränen

24.11.2019, 11:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Ich hingegen wähle erst einmal die Waffe aus und suche mir ggf. den Aufsatz aus der zur Waffe passenden Kategorie aus.

Schon wieder wiederholst du diesen Unfug: Das hat NICHTS mit der Beschreibung der Aufgabenstellung zu tun. Da geht es um EINE Waffe, und alle aufgeführten Kategorien passen zu dieser Waffe, mit den beiden Einschränkungen "maximal fünf Aufsätze kann man auswählen" sowie "maximal einen Aufsatz pro Kategorie". Das sind die Rahmenbedingungen, und an denen gibt es nichts umzuschreiben a la "es gibt mehrere Waffen" oder über "zur Waffe passenden Kategorie".

Falls du also die Aufgabenstellung zurecht biegen willst in der Weise, dass deine Formel am Ende doch stimmt, dann benenne diese veränderte Aufgabenstellung mal klar und deutlich, d.h. mehr als nur durch nebulöse Andeutungen in Nebensätzen.

Zitat:

Original von Kamil_PinGuiN
Es geht um ein Spiel in dem es Waffen mit einer Menge Aufsätzen gibt. Für die eine Waffe gibt es 9 Kategorien in den es verschiedene Anzahl an Aufsätzen gibt:

Und um diese die eine Waffe geht es also hier, nix ist hier mit einer Auswahl von einer aus mehreren Waffen. Hör also endlich auf mit deiner Chewbacca-Verteidigung deiner Formel und gib den Fehler endlich zu: Du hast dich schlicht verzählt.

Was an der Problemstellung lediglich unklar ist, ob die Zuordnung der einmal ausgewählten Aufsätze zu den Slots auf der Waffe eine Rolle spielen soll oder nicht, daher ja meine (bisher unbeantwortete) Nachfrage an Kamil_PinGuiN. Und da hatten wir uns (so hatte ich zumindest deine erste ja noch richtige Formel gedeutet) darauf geeinigt, dass dies zunächst nicht der Fall sein soll.

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Das Produkt der $\begin{eqnarray*} (n_i+1) \end{eqnarray*}$ zu betrachten, macht für mich nur in einem Kontext Sinn: Wenn man auf die Bedingung "maximal fünf Aufsätze darf man auswählen" verzichtet, d.h., tatsächlich bis zu neun Aufsätze zugleich für diese Waffe zulässt, dann ist $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^9 \left(n_i+1\right) \end{eqnarray*}$ tatsächlich die Anzahl der möglichen Aufsatzvarianten für 0 bis 9 auszuwählende Aufsätze in der bisher verwendeten Zählweise (d.h. ohne Slotzuordnung). Möglicherweise hattest du das ja im Sinn bei der Entwicklung deiner Formel, du hast nur nicht bedacht, dass die Analogieübertragung dieses Produktes auf weniger als neun Faktoren und dann Summation über die Indextupel zu den oben hinlänglich beschriebenen Mehrfachzählungen führt. Sowas kommt vor, und wäre ja eigentlich auch keine Katastrophe.

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EDIT: Langsam beginne ich zu verstehen, was du da tust:

Du willst die Bedingung "maximal 5 Aufsätze pro Waffe" in der Weise verarbeiten, dass du $\begin{eqnarray*} \binom{9}{5} \end{eqnarray*}$ verschiedene Waffentypen betrachtest: Jeder einzelne dieser Typen wird charakterisiert durch so ein 5-Tupel $\begin{eqnarray*} (n_i,n_j,n_k,n_l,n_m) \end{eqnarray*}$ an Indizes aus 1..9. Und das soll bedeuten, dass Waffen dieses Typs nur aus diesen 5 Kategorien $\begin{eqnarray*} n_i,n_j,n_k,n_l,n_m \end{eqnarray*}$ ihre Aufsätze auswählen können. Dann ist es durchaus richtig, dass das Produkt $\begin{eqnarray*} (n_i+1)(n_j+1)(n_k+1)(n_l+1)(n_m+1) \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Möglichkeiten beschreibt, wie man eine Waffe aus 0..5 Aufsätzen dieses Typs bauen kann, darunter ist dann z.B. auch die Waffe ohne jegliche Aufsätze.

Wenn du nun aber diese Anzahl über alle möglichen 5-Tupel $\begin{eqnarray*} (n_i,n_j,n_k,n_l,n_m) \end{eqnarray*}$ summierst, dann zählst du z.B. auch diese Waffe ohne Aufsätze jedes einzelne Mal neu mit, d.h., insgesamt geht die Waffe ohne Aufsätze dann $\begin{eqnarray*} \binom{9}{5}= 126 \end{eqnarray*}$ -mal in deine Anzahlsumme ein statt nur einmal, wie es richtig wäre. Lediglich die Waffen mit genau fünf Aufsätzen zählst du richtig, weil die jeweils nur zu genau einem deiner Waffentypen gehören - alle anderen Waffen mit 4 oder weniger Aufsätzen können entstehen durch die Auswahl von den Aufsätzen aus mehreren Waffentypen. Das Beispiel mit 0 Aufsätzen ist lediglich der Extremfall des Verzählens, in quantitativ weniger krasser Form fällt dieser Fehler auch bei 1..4 Aufsätzen an.

Auf diesen Mehrfachzählfehler weise ich dich nun schon seit 19.11.2019 09:10 hin, aber du hörst einfach nicht zu.

EDIT2 (26.11.2019):

Schweigen im Walde, ich hätte es mir denken können. Mir können nur die Leute leid tun, die tatsächlich von "Dr." Ulrich Ruhnau kostenpflichtige Mathematische Dienstleistungen in Anspruch nehmen wollen. Die mögen zwar kostengünstig sein (40 € / Stunde im Münchner Speckgürtel ist wahrlich nicht viel), aber wie es angesichts der hier gezeigten Fehlerkultur aussieht, sind sie womöglich nicht mal das wert. Großspuriges Auftreten ("ist es ein Leichtes, meine Formel anzupassen") ohne Substanz.

Und ja, das war jetzt persönlich und vielleicht auch unter der Gürtellinie. Aber wer schäbige Mutmaßungen über andere anstellt ohne sich dafür zu entschuldigen, sollte sich nicht wundern, wenn ihm mit gleicher Münze heimgezahlt wird.

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