Grenzwertbestimmung

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16.11.2019, 15:50	Isabell770	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertbestimmung Meine Frage: Also es ist ja $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sqrt{n+ \sqrt{n}} - \sqrt{n} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Ich weiß, wie man das formal beweist, meine Frage ist, wie man das "auf einen Blick" erkennt? Denn oft ist es ja hilfreich, eine Vermutung für den Grenzwert zu haben, bevor man ihn dann berechnet Meine Ideen: Durch geeignetes Abschätzen?
16.11.2019, 15:54	G161119	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbestimmung Erweitere zur 3. binom. Formel!
16.11.2019, 16:10	Isabell770	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbestimmung Danke, aber meine Frage ist, ob sich der Grenzwert auch ohne Rechnung sofort erkennen lässt
16.11.2019, 16:16	G161119	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbestimmung Sorry, ich habe nicht genau gelesen. Warum willst du abschätzen, wenn man es leicht berechnen kann?
16.11.2019, 16:52	Isabell770	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbestimmung Kein Problem Also irgendwo habe ich das Folgende gelesen: "Ich erkenne ohne Rechnung, dass der Grenzwert von $\begin{eqnarray} \sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n} \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ist, nur weiß ich nicht, wie man das zeigt." Und ich habe mich gefragt, wie diese Person den Grenzwert sofort ablesen konnte, und dachte mir, dass das eine nützliche Fähigkeit ist. Denn dann könnte ich mir ja ein Kontrollergebnis für meine Berechnungen herholen
16.11.2019, 17:11	G16119	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbestimmung Vlt. kann dir einer unserer Profis das erklären. Ich könnte das nicht erkennen.
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16.11.2019, 19:31	Isabell770	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbestimmung Danke trotzdem! Hat also jemand eine Idee?
16.11.2019, 19:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbestimmung Durch umschreiben $\begin{eqnarray} { \sqrt{n + \sqrt n} - \sqrt n } = \frac{ \sqrt{1 + \frac 1 {\sqrt n}} - 1 }{ \frac 1 {\sqrt n }} \end{eqnarray}$ erkannt man, dass es ein Differenzenquotient von $\begin{eqnarray} f \colon [0, \infty] \to \mathbb R, f(x) = \sqrt { x} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x_0=1 \end{eqnarray}$ ist. Nun ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ differenzierbar mit $\begin{eqnarray} f'(x) = \frac 1 {2 \sqrt {x}} \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} { \sqrt{n + \sqrt n} - \sqrt n } = \frac { f\left(1+\frac 1 { \sqrt n}\right) - f(1)} {\frac 1 { \sqrt n}} \end{eqnarray}$ . Es folgt $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} { \sqrt{n + \sqrt n} - \sqrt n }= \lim_{h\to 0} \frac{ f(1+h) - f(1)} h = f'(1) = \frac 1 2 \end{eqnarray}$ . Das ist die einzige Alternative welche (wenigstens) ich zum Vorschlag von G16119 (fehlt da eine 1 im Namen?) gefunden hab. Und selbst das kann man zu Recht als Zirkelschluss betrachten, weil die Differenzierbarkeit und Ableitung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ benutze. Es mag sicher Leute geben, die den Grenzwert sofort sehen. Aber ich lege meine Hand ins Feuer, dass der zitierte Beitrag über eine Lösung "gestolpert" ist (z.B. Wolfram Alpha) und zu wenig Verständnis für Folgen/Grenzwerte hat, um zu erkennen wie absurd seine Aussage war.
16.11.2019, 20:58	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbestimmung Fragt sich auch, wass man unter "ohne Rechnung" genau verstehen soll. Natürlich kann man ohne schriftliche Rechnung die Erweiterung mit $\begin{eqnarray} \sqrt{n+\sqrt{n} }+\sqrt{n} \end{eqnarray}$ im Geiste durchführen und erkennen, dass im Zähler nur noch $\begin{eqnarray} \sqrt{n} \end{eqnarray}$ übrigbleibt. Für das Abschätzen des Nenners kann man sich die Regeln zur Bestimmung von Asymptoten bei gebrochenrationalen Funktionen analog zunutzemachen. Die höchste Nennerpotenz von $\begin{eqnarray} \sqrt{n+\sqrt{n} }+\sqrt{n} \end{eqnarray}$ muß durch $\begin{eqnarray} \sqrt{n} \end{eqnarray}$ selbst gegeben sein, da die Wurzel unter der Wurzel im 1. Summanden höchstens das Gewicht von $\begin{eqnarray} n^{1/4} \end{eqnarray}$ haben kann. Der Nenner wirkt sich also mit wachsendem n aus wie $\begin{eqnarray} \sqrt{n}+\sqrt{n}=2\sqrt{n} \end{eqnarray}$ . Der Grenzwert wäre demnach für den Fall Zählergrad = Nennergrad der Quotient der beiden Leitkoeffizienten, also 1/2. Das alles stellt zwar auch bereits eine Rechnung dar, die im Kopf aber schneller geht, als diesen Beitrag zu schreiben.

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