Kurvenintegral mit Vektoren als Grenzen

16.11.2019, 16:06	Jan Schneider	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral mit Vektoren als Grenzen Das Grundprinzip von Kurvenintegralen glaube ich verstanden zu haben, allerdings kann ich keine Beispiele finden welche Vektoren als Integrationsgrenzen besitzen. Die Aufgabe ist, das Arbeitsintegral zu berechnen und zwar mit folgenden Grenzen, Vektorfeld und Kurve: $\begin{eqnarray} W= \int_{\vec{A}}^{\vec{B}}\vec{F}d\vec{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{F}(x,y,z)=(6xyz-1,3x^2z+2y,3x^2y)^T<br /> <br /> \vec{A}=(0,0,1)^T<br /> \vec{B}=(1,1,1)^T<br /> \end{eqnarray}$ a) $\begin{eqnarray} \vec{x}=(t,t,1)^T I=[0,1] \end{eqnarray}$ Idee bei a: 0 und 1 als Grenzen zu benutzen und das Integral nach den Regeln für Kurvenintegrale zu berechnen. Ich bekomme da 3 raus. Was aber mache ich mit den gegebenen Vektoren für A und B? bei b) bin ich leider völlig ratlos: entlang einer geraden Linie von Ausgangspunkt A zum Punkt (1,0,1) und danach einer geraden Linie zum Endpunkt B. Brauche ich hier zwei Integrale? Wie verarbeite ich den gegangenen Weg im Kurvenintegral? Hier werde ich die gegebenen "Vektorgrenzen" ja höchstwahrscheinlich brauchen, aber ich weiß nicht wie. Ich glaube dass mir Hinweise oder Tipps schon weiterhelfen, danke dafür im Voraus.
16.11.2019, 16:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Kurve, über die integriert werden soll, ist ja gar nicht angegeben, sondern nur ihr Anfangspunkt $\begin{align} A \end{align}$ und ihr Endpunkt $\begin{align} B \end{align}$ . Letztlich spielt es aber auch keine Rolle, denn es gibt eine reellwertige Funktion $\begin{align} G = G(x,y,z) \end{align}$ mit $\begin{align} \left( \frac{\partial G}{\partial x}, \frac{\partial G}{\partial y}, \frac{\partial G}{\partial z} \right) = \left( F_1,F_2,F_3 \right) \end{align}$ und daher hängt das Integral nur vom Anfangs- und Endpunkt der Kurve ab: $\begin{align} \int_A^B \left( \, F_1 ~ \dd x + F_2 ~ \dd y + F_3 ~ \dd z \, \right) \ = \ G(B) - G(A) \end{align}$ Bei b) muß derselbe Wert wie bei a) herauskommen. Finde diese Stammfunktion $\begin{align} G \end{align}$ , und die Aufgabe ist gelöst.
16.11.2019, 16:58	Jan Schneider	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte das gegebene x=(t,t,1) wäre die Kurve?
16.11.2019, 17:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, das ist gegeben! Und ich dachte, das sei dein Ansatz für die Strecke von $\begin{align} A \end{align}$ nach $\begin{align} B \end{align}$ . Bitte künftig klar trennen, was Aufgabe und eigene Überlegungen sind. Dann hattet ihr den Satz vielleicht noch gar nicht, daß bei Existenz einer Stammfunktion das Integral nicht von dem Kurvenverlauf, sondern nur von den Endpunkten der Kurve abhängt. Nun denn, dann mußt du das entsprechende Kurvenintegral in b) auf dem Standardweg berechnen. (Immerhin weißt du jetzt schon, was herauskommen muß.) Du kannst einfach zwei Kurvenintegrale addieren, das über die Strecke von $\begin{align} A \end{align}$ nach $\begin{align} C \end{align}$ (gegebener Zwischenpunkt) und das über die Strecke von $\begin{align} C \end{align}$ nach $\begin{align} B \end{align}$ .
16.11.2019, 18:25	Jan Schneider	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dann war mein Ansatz richtig. Wie bekomme ich aber ohne gegebene Parametrisierung aus den Vektoren die Integrationsgrenzen heraus?
16.11.2019, 20:22	Jan Schneider	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe es rausbekommen, man muss die Parametrisierung quasi selbst ausführen und dann ergibt sich bei der zweiten Teilaufgabe ebenfalls 3 am Ende. Danke für deine Hilfe!
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17.11.2019, 07:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und hier noch die Lösung mit Hilfe einer Stammfunktion. Wenn das in der Vorlesung noch nicht behandelt wurde, kann es nicht mehr lange dauern. $\begin{align} G(x,y,z) = 3x^2yz - x + y^2 \end{align}$ Der Gradient ist $\begin{align} G'(x,y,z) = \left( 6xyz - 1, 3x^2z + 2y, 3x^2y \right) = F(x,y,z) \end{align}$ Mit $\begin{align} A = (0,0,1) \end{align}$ und $\begin{align} B = (1,1,1) \end{align}$ folgt $\begin{align} \int_A^B \left( 6xyz - 1 \right) ~ \dd x + \left( 3x^2z + 2y \right) ~ \dd y + 3x^2y ~ \dd z \ = \ G(B) - G(A) \ = \ G(1,1,1) - G(0,0,1) \ = \ 3 - 0 = 3 \end{align}$

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