Numerische Methode zu nichtlinearer PDGL

16.11.2019, 16:47

opfps

Numerische Methode zu nichtlinearer PDGL

Hey,

ich bin auf der Suche nach einer numerischen Lösungsmethode für folgende partielle Differentialgleichung:
$\begin{eqnarray*} \frac{ \partial u }{ \partial t } = \frac{ \partial }{ \partial x } \left( D(u) \frac{ \partial u }{ \partial x } \right) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} D(u) = C \cdot u^{k} \end{eqnarray*}$

Hätte jemand eine Idee, wie man sowas angeht?

Liebe Grüße

25.11.2019, 23:39

Ulrich Ruhnau

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RE: Numerische Methode zu nichtlinearer PDGL
Das ganze sieht aus wie ein Diffusionsproblem, aber für eine Lösung fehlen hier die Randbedingungen. Diffusionsprobleme werden häufig mit der Methode der finiten Elemente gelöst, insbesondere bei mehrdimensionalen Problemen. Im eindimensionalen Fall hat man häufig noch die Chance einer analytischen Lösung. Und wenn man einen festen Ausgangspunkt hat, ist das Verfahren von Runge-Kutta nicht schlecht. Also wo sind die Randbedingungen?

Vielleicht hilft für den Einstieg auch dieser Link.

26.11.2019, 16:26

opfps

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RE: Numerische Methode zu nichtlinearer PDGL

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Das ganze sieht aus wie ein Diffusionsproblem, aber für eine Lösung fehlen hier die Randbedingungen. Diffusionsprobleme werden häufig mit der Methode der finiten Elemente gelöst, insbesondere bei mehrdimensionalen Problemen. Im eindimensionalen Fall hat man häufig noch die Chance einer analytischen Lösung. Und wenn man einen festen Ausgangspunkt hat, ist das Verfahren von Runge-Kutta nicht schlecht. Also wo sind die Randbedingungen?

Ganz genau, es handelt sich um ein Diffsionsproblem. Die Randbedingungen wären vorerst u(x = 0, t) = 1 und u(x > 0, t = 0) = 0.

Eine analytische Lösung existiert bereits - es geht darum, ein numerisches Modell zur Validierung zu erstellen und auch andere Diffusionskoeffizienten zu prüfen.

Bzgl. der FEM - ich habe mittlerweile ein wenig Recherche betrieben, und meines Wissens nach sind FEMs ungenauer bzw. rechenaufwendiger bei geometrisch einfachen Problem. Deshalb dachte ich daran, die Finite Differenzen Methode zu verwenden. Aber kann auch sein, dass ich da was falsch verstanden habe.
Meine momentane Idee ist es, das Crank-Nicolson-Verfahren zu verwenden, und D(u) immer aus dem vorherigen Zeitschritt zu berechnen.

26.11.2019, 20:17

Antezedenz

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Bin kein Experte für gitterbasierte Methoden, habe früher mal mit Teilchenmethoden gearbeitet - daher gesundes Halbwissen... aber mein Tipp: etwas Zeit in Recherche investieren, ob es in MATLAB, einer Numerikbibliothek oder in Büchern/Papers einen Solver gibt, der sich auf euer Problem anpassen lässt. Implementierung von PDE-Solvern ist numerisch sehr tricky, ich würde das wirklich nur selbst machen, wenn es gar nicht anders geht. Die 1d-Diffusionsgleichung ist ein Standardproblem, ich denke da sollte man fündig werden.

28.11.2019, 16:38

opfps

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Geht klar. Ich danke dir für deine Hilfe!

02.12.2019, 16:39

Ulrich Ruhnau

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RE: Numerische Methode zu nichtlinearer PDGL

Zitat:

Original von opfps
ich bin auf der Suche nach einer numerischen Lösungsmethode für folgende partielle Differentialgleichung:
$\begin{eqnarray*} \frac{ \partial u }{ \partial t } = \frac{ \partial }{ \partial x } \left( D(u) \frac{ \partial u }{ \partial x } \right) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} D(u) = C \cdot u^{k} \end{eqnarray*}$

Hätte jemand eine Idee, wie man sowas angeht?

Nachdem mit $\begin{eqnarray*} u(x = 0, t) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u(x > 0, t = 0) = 0. \end{eqnarray*}$ die Randbedingungen vorliegen, können wir endlich zu Werke gehen.

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial t} = C\frac{\partial}{\partial x}\left(u^k \frac{\partial u}{\partial x}\right) \end{eqnarray*}$ will ich aufgrund der einfachen Randbedingungen durch einen Separationsansatz lösen. $\begin{eqnarray*} u(x,t)=v(x)\cdot z(t) \end{eqnarray*}$

Dann bedeutet $\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial t}=v\frac{\partial z}{\partial t} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial x}z \end{eqnarray*}$ . Nun setzen wir den Ansatz in die DGL ein.

$\begin{eqnarray*} v\frac{\partial z}{\partial t} = Cz^{k+1}\frac{\partial}{\partial x}\left(v^k \frac{\partial v}{\partial x}\right) \end{eqnarray*}$ Ab hier ist die DGL durch Trennung der Veränderlichen zu lösen.

Die Zeit-DGL lautet vereinfacht $\begin{eqnarray*} \frac{\partial z}{\partial t} = Az^{k+1} \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ das zeitlich konstant ist. Das löst man durch Trennung der Veränderlichen.

$\begin{eqnarray*} \int \! z^{-(k+1)}\,dz = A \int dt \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} -\frac{z^{-k}}{k} = A t + c_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^{-k} = -k(A t + c_1) \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} z = \Big(-k(A t + c_1)\Big)^{-\frac{1}{k} } \end{eqnarray*}$

Die Orts-DGL lautet vereinfacht $\begin{eqnarray*} vB = \frac{\partial}{\partial x}\left(v^k \frac{\partial v}{\partial x}\right) \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ das räumlich konstant ist.

Die rechte Seite zwei mal nach x zu integrieren wäre einfach. Aber die linke Seite macht da nicht mit. Einmal nach x integriert ergibt:

$\begin{eqnarray*} B\!\int \!v(x)\,dx = v^k \frac{\partial v}{\partial x} \end{eqnarray*}$ Noch mal nach x integriert ergibt:

$\begin{eqnarray*} B\!\int \!\!\!\int \!v(x)\,(dx)^2 = \frac{v^{k+1}}{k+1} \end{eqnarray*}$ oder anders mit y(x)''=v(x) gilt dann $\begin{eqnarray*} B y = \frac{(y'')^{k+1}}{k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B y (k+1)= (y'')^{k+1} \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} \Big(B y (k+1)\big)^\frac{1}{k+1}= y'' \end{eqnarray*}$ Jetzt noch den Integrierenden Faktor einfügen.

$\begin{eqnarray*} \Big(B y (k+1)\big)^\frac{1}{k+1}y'= y'y'' \end{eqnarray*}$ und zum Integrieren umstellen $\begin{eqnarray*} \Big(B (k+1)\big)^\frac{1}{k+1}y^\frac{1}{k+1}y'= y'y'' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Big(B (k+1)\big)^\frac{1}{k+1}\frac{k+1}{-k} y^\frac{-k}{k+1}= \frac{(y')^2}{2} +c_2 \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} 2\left(\Big(B (k+1)\big)^\frac{1}{k+1}\frac{k+1}{-k} y^\frac{-k}{k+1}-c_2\right)= (y')^2 \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} \sqrt 2\left(\Big(B (k+1)\big)^\frac{1}{k+1}\frac{k+1}{-k} y^\frac{-k}{k+1}-c_2\right)^\frac{1}{2}= \frac{\partial y}{\partial x} \end{eqnarray*}$ und umstellen $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \,dx= \left(\Big(B (k+1)\big)^\frac{1}{k+1}\frac{k+1}{-k} y^\frac{-k}{k+1}-c_2\right)^{-\frac{1}{2}}dy \end{eqnarray*}$

02.12.2019, 22:18

Ulrich Ruhnau

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RE: Numerische Methode zu nichtlinearer PDGL

Zitat:

Original von opfps
Eine analytische Lösung existiert bereits - es geht darum, ein numerisches Modell zur Validierung zu erstellen und auch andere Diffusionskoeffizienten zu prüfen.

Wenn man wirklich die Analytische Lösung hat, dann kann man auch die Randbedingungen einsetzen und hat alles was man braucht. Vor allen Dingen kann man dann auf FEM andere numerische Modelle verzichten. Dürfte ich mal erfahren, was hier genau simuliert werden soll und die analytische Lösung bekommen?

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