Vereinigung von offenen Mengen offen

16.11.2019, 17:29	Ogoat	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigung von offenen Mengen offen Meine Frage: Ich muss Beweisen das für jedes $\begin{eqnarray} i \in I : U_i \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ (I index menge und alle $\begin{eqnarray} U_i \end{eqnarray}$ offen) gilt : $\begin{eqnarray} <br /> \cup_{i\in I} U_i \end{eqnarray}$ ist auch offen. Meine Ideen: So, mein Problem ist jetzt eigentlich nur das irgendwie richtig auf zu schreiben. Besonders die Indexmenge macht mir dabei Probleme. Folgendes habe ich aktuell: (Zuerst habe ich U durch den Buchstaben M getauscht weil U neben ner Vereinigung echt ungünstig aussieht.) Dann hab ich nochmal aufgeschrieben was gegeben ist. $\begin{eqnarray} \forall i \in I \ \forall x\in M_i : \exists \epsilon > 0 : B_\epsilon (x) \subset M_i \end{eqnarray}$ (B soll für epsilon Ball/Intervall stehen, so haben wir das zumindest bei uns genannt) weiter: sei $\begin{eqnarray} A:= \cup_{i\in I} M_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \Rightarrow \forall i\in I \ \forall x\in M_i : \exists \epsilon > 0 : B_\epsilon (x) \subset A \\<br /> \Rightarrow \forall x \in \cup_{i\in I} M_i : \exists \epsilon > 0 : B_\epsilon (x) \subset A \\<br /> \Rightarrow \forall x \in \cup_{i \in I} M_i : \exists \epsilon > 0: B_\epsilon (x) \subset \cup_{i \in I} M_i <br /> \end{eqnarray}$ Geht das so, oder muss ich da noch irgendwo genauer was machen? Oder geht es garnicht so?
16.11.2019, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Umbenennungen sind für uns Topologen sehr unglücklich gewählt, weil wir uns jahrhundertelang daran gewöhnt haben, offene Mengen $\begin{eqnarray} Umgebungen \end{eqnarray}$ zu nennen und mit $\begin{eqnarray} U_i \end{eqnarray}$ zu bezeichnen. Den offenen Ball $\begin{eqnarray} B_{\epsilon}(x) \end{eqnarray}$ musst du nicht erklären, der heißt auch schon so, seit Felix Hausdorff ihn um 1900 so genannt hat. Im Beweis solltest du $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ vermeiden, weil das jeder Topologe mit einer $\begin{eqnarray} abgeschlossenen \end{eqnarray}$ Menge assoziiert. Der Beweis leuchtet mir noch nicht ein, mir deucht, dies ist lediglich die zu beweisende Aussage. Lass mal alle Umbenennungen weg und versuche die Argumentation zu verfeinern. Beachte, dass das $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ in der 1. Zeile vom Index $\begin{eqnarray} i\in I \end{eqnarray}$ abhängt, in der 2. Zeile aber nicht mehr, genau das ist das - nichttriviale - Problem.

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