Hopf-Faserung

16.11.2019, 18:59	yd010398	Auf diesen Beitrag antworten »
Hopf-Faserung Meine Frage: Hi, ich soll zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y,u,v)=(2(xu+vy), 2(uy-xv), x^{2}+y^{2}+u^{2}+v^{2}) \end{eqnarray}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray} S^{3} \end{eqnarray}$ surjektiv auf $\begin{eqnarray} S^{2} \end{eqnarray}$ abbildet und für $\begin{eqnarray} p\in S^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{-1}(p) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} S^{3} \end{eqnarray}$ liegt. Außerdem soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} f^{-1}(p) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} p \in \mathbb R^{3} \ (0,0,0) \end{eqnarray}$ eine Untermannigfaltigkeit ist und diffeomorph zu $\begin{eqnarray} S^{1} \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Ich habe bereits gezeigt, dass $\begin{eqnarray} f^{-1}(p) \end{eqnarray}$ eine UMF ist und f von $\begin{eqnarray} S^{3} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} S^{2} \end{eqnarray}$ abbildet, ich komme allerdings bei der Surjektivität nicht weiter, da ich nicht weiß, wie ich für ein Element aus $\begin{eqnarray} S^{2} \end{eqnarray}$ ein zugehöriges aus $\begin{eqnarray} S^{3} \end{eqnarray}$ finden soll. Ich habe auch noch keine Ahnung wie ich einen Diffeomorhismus finden soll. Danke für eure Hilfe.

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