Implizite Differentiation

17.11.2019, 00:15

Hansmü1

Implizite Differentiation

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}=9\\<br /> \frac{d}{dx} (x^{2}+y^{2})=\frac{d}{dx} (9)\\<br /> 2x+2y*\frac{dy}{dx}=0\\<br /> \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

Das ist der Lösungsweg meines Lehrers zu besagter Aufgabe. Mir ist allerdings nicht klar woher das dy/dx in der 3. Zeile kommt. Ich hätte gedacht es der term mit dem y wird einfach 0, da die variable (y) nicht mit der Variablen (x) nach der differenziert übereinstimmt. Wo liegt mein Denkfehler?

Meine Ideen:
.

17.11.2019, 02:04

klauss

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RE: Implizite Differentiation
x ist die unabhängige Variable, y ist die (von x) abhängige Variable.

$\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} =y' = f'(x) \end{eqnarray*}$

Daher muß beim Ableiten von $\begin{eqnarray*} y^{2} \end{eqnarray*}$ mit Kettenregel nachdifferenziert werden.

17.11.2019, 02:21

Hansmü1

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Warum muss nachdifferenziert werden?

17.11.2019, 02:29

klauss

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$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \left[f(x)\right]^{2} =2\cdot f(x)\cdot f'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} (y^{2}) = 2y \cdot y' \end{eqnarray*}$

17.11.2019, 10:08

IfindU

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@klauss

Das hat er doch geschrieben, bloss als $\begin{eqnarray*} \frac { dy } {dx} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ .

17.11.2019, 16:56

Hansmü1

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Zum Verständnis, warum differenziert man nach x und nicht nach y?

17.11.2019, 17:36

mYthos

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Weil man (am Beginn der Aufgabe) von f: y = f(x) ausgeht, und dabei offensichtlich die Steigung der Tangente zu berechnen hat.
Bei der Darstellung mit $\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^2 + y^2 - 9 = 0 \end{eqnarray*}$ kann man selbstverständlich f nach beiden Variablen (partiell) differenzieren.

mY+

17.11.2019, 18:23

Leopold

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Zitat:

Original von IfindU
@klauss

Das hat er doch geschrieben, bloss als $\begin{eqnarray*} \frac { dy } {dx} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ .

Diesen Einwand verstehe ich nicht. Schließlich hat klauss das ja nie beanstandet. Vielmehr hat er versucht, durch Bezeichnerwechsel das Verständnis für die Problematik (Kettenregel) zu erhöhen.

Die Formel $\begin{align*} \frac{\dd y}{\dd x} = - \frac{x}{y} \end{align*}$ , gültig für alle Kreispunkte mit $\begin{align*} y \neq 0 \end{align*}$ , ist elementargeometrisch fundamental: Eine Kreistangente (Steigung $\begin{align*} - \frac{x}{y} \end{align*}$ ) steht immer senkrecht auf dem Berührradius (Steigung $\begin{align*} \frac{y}{x} \end{align*}$ ).

17.11.2019, 18:34

klauss

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Zitat:

Original von Leopold
Schließlich hat klauss das ja nie beanstandet. Vielmehr hat er versucht, durch Bezeichnerwechsel das Verständnis für die Problematik (Kettenregel) zu erhöhen.

Exakt erkannt. Freude

@Hansmü1:
Daher jetzt noch die Ergänzung:
Gehen wir von der impliziten Kreisgleichung zur expliziten über und betrachten nur mal speziell den oberen Halbkreis $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{9-x^{2} } \end{eqnarray*}$ .
Dann erhält man als Ableitungsfunktion $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ geteilt durch die ursprüngliche Funktionsvorschrift von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Wie impliziten Fall zuvor.

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